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Schlafli. 



Eine homogene Gleichung m ten Grades zwischen n + 1 Variabeln , 



hat mit einer linearen Gleichung 



f(x,y,z, . . .w) =o, (1) 



p = p x + qy + ... + s «0 = o (2) 



im Allgemeinen oo n ~~ 2 Losungen gemein. Weichen nan die Verhaltnisse der Variabeln um Variationen erster 

 Ordnung von irgend einer bestimmten Losung ab, doch so, dass die hohere Gleichung (1) immer erfiillt 

 bleibt und daher nur n — 1 Variationen unter sich unabhangig sind, so wird im Allgemeinen p von der 

 ersten Ordnung sein ; und wenn wir verlangen , dass p von der z w e i t e n Ordnung sei , ohne dass diese 

 Bedingung die vollige Unabhangigkeit jener n — 1 Variationen irgendwie beschranke, so werden dagegen 

 die Verhaltnisse p : q : . ♦ ♦ : s einer Beschrankung unterworfen , wodurch die Anzahl der Polynome p von 

 oo n auf oo n_1 heruntergebracht wird. In diesem besonderen Falle sagen wir , die lineare Gleichung (2) 

 habe eine Lo sungsgemeinschaft erster Ordnung mit der hoheren Gleichung (1). Wir 

 erkennen sogleich, dass dies die Coincidenz der Differentialgleichungen erster Ordnung von (1) und (2) 



erfordert, also 



p:q: 



dx 



was fur n Gleichungen z'ahlt. Da 



dy 



dw 



x 



df 



dx 



+*%+ 



. . -f- w 



dw 



m 



A 



so kann immer eine von den Gleichungen (1) und (2) die andere ersetzen. Wir bekommen so ein System 

 von n + 1 Gleichungen , aus welchem die n Verhaltnisse x : y : ♦ . . : w eliminirt werden konnen. Die 

 Endgleichung 



? (P> q 9 r 9 .:.s)—o (3) 



wird ausser den reciproken Variabeln />, f/ 9 . . . s (so wollen wir sie fortan nennen) nur noch die 

 Elemente von f enthalten. 1st sie erfiillt, so hat die lineare Gleichung (2) eine Losungsgemeinschaft erster 

 Ordnung mit der hoheren Gleichung (1), und umgekehrt. 



Erlauben wir uns den Ausdruck „Losung" fur irgend eine Reihe von Verhaltnissen aller n + 1 

 Variabeln x, y, . . . w, so haben wir, wenn keine Gleichung vorhanden ist, oo n Losungen. Wir nennen 

 ihre Gesammtheit die vollstandige Total i tat oo n . Fassen wir nun die Gleichung (1) nur als Totalitat 

 ihrer oo n_1 Losungen auf, indem wir von ihrer expliciten Form abstrahiren, und fugen ihr nun n — 1 lineare 

 Gleichungen in x, y 9 . . • to bei , die wir audi nur als Totalitaten aller ihrer Losungen auffassen : so werden 

 dadurch die n Verhaltnisse der Variabeln bestimmt , und wir bekommen eine endliche Anzahl m von 

 Losungen. Dies ist der G r a d jener hoheren einfach bedingten Totalitat oo n_1 . Nennen wir nun 



lineare Totalitaten oo n_1 solche, welche durch eine einzige lineare Gleichung zwischen n+l 



Variabeln dargestellt sind , so konnen wir sagen : 



Eine algeb raise he Totalitat oo n_1 ist eine solche, welche mit n — 1 unter sich unabhangigen 

 linearen Totalitaten oo n_1 nur eine endliche Zahl von Losungen gemein hat. Diese endliche Zahl ist der 



Grad jener algebraischen Totalitat oc n_1 ." 



Nennen wir auf der anderen Seite jede Reihe von Verhaltnissen der n+l Elemente /?, y, . . .s irgend 

 einer linearen Gleichung px+ qy + . . . + sw = o oder der durch sie dargestellten linearen Totalitat 

 oo n_1 eine reciproke Losung, so gibt es oo n reciproke Losungen. Ihre Gesammtheit heisse die voll- 

 standige reciproke Totalitat oo\ Besteht nun eine Gleichung wie (3), so stellt sie eine einfach 



bedingte reciproke Totalitat oo 



n— 1 



dar. Jede Losung der durch px + qy + ... + sw = o dar- 





estellten linearen Totalitat oo n_1 beschrankt die Zahl der moglichen reciproken Losungen p: q : . . :w 



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