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n 



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Beitrag zur Theorie der Elimination. 

 \ Wir nennen dies eine einfach bedingte reciproke lineare Totalitat 



oo 



hinzu, so ergibt sich eine endliehe Zahl jx reciproker Losungen pi q : .. .:s , welche gleieh ist dem Grade 

 von (3). Wenn wir aber nur immer die Bedingung der Losungsgemeinschaft erster Ordnung festhalten, so 



-■ . . r% • -■ * *—., m m — _ 



Wir 



oo 



„8ind n — \ beliebige unter sieli unabhangige (directe) Losungen einer reciproken Losung (directen 



oo 



oo 



liche Anzahl jener reciproken Losungen." 



Es seien a 2 : b % : . . . : k z , . . . , a a : b a : . . . : k n die n — 1 gegebenen Losungen der reciproken Losung 

 p : q : . • . : s , so bekommen wir die n Gleichungen 



f{x,y, . . . w) 



d f i * rf /* , , / tff 



dx 



dy 



dw 



df , , df t * df 



o , etc., a n -/- + ftn-T^- +-••:•■+ A n ~ ' 



rf# 



<ty 



dw 



o 



Die Zahl der Losungen dieses Systemes ist gleieh dem Producte aller Grade ; also 



[x = m (m — l) n . 

 Daher der Satz : Ist m der Grad einer freien algebraischen Totalitat oo n_1 , so ist ihre 



Classe m(m — l) n—1 . 



Die reciproke Losung p: q: . . . :w ist jetzt bestimmt (wenn gleieh nicht in der Einzahl, doch in einer 

 endlichen Zahl). Jede neue hinzugefiigte Losung a ± : b ± : * • . : k x ist daher nicht mehr ganz frei, sondern 

 einfach bedingt. Wir bekommen dann die zwei aquivalenten Systeme : 



a 



a 



d£ 

 dx 



if 



dx 



dy 

 dy 



k 



df 



dw 



If 

 dw 



o 



o 



0. 



df , , df 



dx 



dy 



+ k 



d£ 



dw 



o 



<?(p, q f . . .s)=o, 

 ^p -\- btq -\- ... 4-/^ = 0, 



a>zP + hq + • • • + k 2 s = o, 



a a p + b n q + .. . + k a s = o 



Da die erste Gleichung des ersten Systemes auch unter der Form 



x -J-* + y -J- + . 



dx 



dy 



+" *0 



if 



dw 



o 



dargestellt werden kann , so ist dasselbe unter Anderem auch erfullt , wenn die Gleichungen 



df 



dx 



o 



if 



dy 



o 



J • • ♦ • 



df 



dw 



o 



es sind. Dies hatte p = q 



s = zur Folge , was nicht als Losung des zweiten Systemes gelten 



darf. Wir vermeiden diesen Uebelstand, wenn wir das erste System als bestehend aus linearen Gleichungen 

 mit den zu eliminirenden Variabeln -%L , ^— , . . . ^- ansehen. Seine Resultante wird dann zur Deter- 



dx dy dw 



minante E±xbft % .\ -k n . Wir diirfen also die Gleichung f=o durch die lineare Gleichung 



{a) x 



{b)y + . . . + (k) w 



o 



9 











11 I 



















II 







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ff. 



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