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t 



4 















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Schlafli. 



ersetzen , wo durch die Einklammerung reciproke Elemcnte dcr letzterwahnten Determinante bezeichnet 

 sind, wenn man sich darin die oberste Horizontalreihe a?, y, . . . to durch a, b, . . . k ersetzt denkt, urn 

 Gleichformigkeit mit der Bezeichnung der iibrigen Horizontalreihen zu haben. Dann ist die Resultante V 

 des erste n Systemes in Beziehung auf die Coeffieienten («), (6), ... (A:) der linearen Gleichung vom 

 Grade (m — l) n und in Beziehung auf die zusammengesetzten Coeffieienten einer jeden der iibrigen Glei- 

 chungen vom Grade (m — l) n-1 9 also in Beziehung auf jede Reihe, wie z. B. a 19 b i9 . . . k t vom Grade 



(m— l) n -f-(m 



1) 



n— 1 



m(m — l) n l , und in Beziehung auf die Elemente des Polynoms f vom Grade 



n(m — l) n \ Die Resultante des zweiten Systemes ist offenbar cp ((a), (li), ...(A)), also in Beziehung 



auf jede Reihe wie « t , 6 4 , . . . k t von einem der Classe m( 



m 



i) 



a— 1 



gleichen Grade, gerade so wie I . 



Da jeder Losung des ersten Systemes auch eine des zweiten entspricht, und umgekehrt, so fallen die Resul- 

 tanten beider Systeme zusammen ; also ist 



ff- * (GO, (*),-. '.(*))• 



Daher der Satz: Die Class en gleichung einer algebr aischen einfach bedingten Total it at 

 mten Grades ist in Beziehung auf ihre Elemente vom n(m — l) n_1 ten Grade, wenn die 



oo 



Folgende Art, den Grad der Endgleichung (3) sowohl in Beziehung auf die Variabeln /?, y, r, als auch 

 auf die constanten Elemente zu bestimmen, scheint mir die directeste zu sein. 



+ 



d£ 



dx 



pd 



m— i 



d ± 

 dy 



ye m_1 , 



• • 



d£ 



dw 



-sd m S px-\- (/y-\-> .. -\-sw 







die n-\- 1 Verhaltnisse x : y : . . . : w : zu eliminiren. Die Resultante ist in Beziehung auf die Elemente 

 einer jeden der n -\- 1 hoheren Gleichungen vom Grade (m 



linearen Gleichung vom Grade (m — 



Variable, z. B. 9, beziiglichen Zeiger gleich (m 



— l) n und in Beziehung auf die Elemente der 

 Ferner ist in jedem Gliede die Summe aller auf irgend eine 



l) n+i . Nun seien X, jx, . . . tu die Grade, welche irgend 



ein Glied der Resultante in Beziehung auf die Coeffieienten p, q 9 . . . g hat, mit denen e ra_1 in den 7i-\- 1 

 hoheren Gleichungen behaftet ist, so ist, da in der linearen Gleichung nicht vorkommt, (X —J — [jl — | — ... —J — tt) 



{[i — 1) die Summe der auf 9 beziiglichen Zeiger; folglich 



^ 4- p + • • • + ft = (*w 



1) n . 



Dies ist also der Grad der Resultante in Beziehung auf alle Grossen p, (/,... «, insofern sie als Coeffieienten 

 von 6 m_1 in den hoheren Gleichungen vorkommen. In Beziehung auf dieselben Grossen, insofern sie Ele- 

 mente der linearen Gleichung sind, ist aber der Grad der Resultante gleich (m — l) n+I . Also ist iiber- 

 haupt m(m — 



l) n der Grad der Resultante in Beziehung auf/;, y, . . . s. 

 In Beziehung auf die constanten Elemente der einzelnen Polynome - f df 



Resultante resp. 



x ' dy ' 



-¥- ist der Grad der 



aw 



(m 



1)° — I, (m— 1)" — (i, . . . ., (m 



IV 



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also in Beziehung aufalle constanten Elemente uberhaupt 



(»+ 1) (m — l) n — (X-j-fx-f- . . . -|- tu) = n (m — l) n . 



Es sei nun x : y : . . . : w : d irgend eine Losung des Systemes der n-f- 1 hoheren Gleichungen , so 

 braucht man nur 6 mit irgend einer (m — l)ten Wurzel der positiven Einheit zu multipliciren , ohne 

 x, y, . . . w zu andern, um wieder eine Losung desselben Systemes zu erhalten. Alle (m — l) n+1 Losungen 

 ordnen sich daher inGruppen von je m — 1 Losungen, welche die Verhaltnisse x : y : . . . : m gemein haben 

 und sich nur durch die Werthe von Q unterscheiden. Da nun die lineare Gleichung 9 nicht enthalt, so ist 





tlar, 



fl 



/i 



toi 



icli 



X 







