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Beitrag zur Theorie der Elimination. 

 klar, dass, wenn man in dem Ausdruck U(px-\-qy-\- . . . -\-sw) fur di< 



Losungen substituirt , derselbe die Form der 



Potenz einer symmetrischen Function erhalten 



x 



wird. Setzt man daher die Resultante gleich 



so ist die ganze und rationale Function cp in Beziehung auf p, q, . . . s vom Grade 

 m(m — l) n_1 und in Beziehung auf die constanten Elemente vom Grade n{m 



Ist die lineare Gleichung {a)x + (6)y + ... +P)tc=a erftillt, so gibt es auch rc Grossen X 19 X 2V . . X B , 

 welche den Gleichungen 



«l^i+«2^2 + - • -4-^n^n 5 ^ 



•••-(- 6„ ^ n 9 etC, 10 = A, \ -j- • . . 



geniigen. Denkt man sich diese Ausdrucke fiir x, y, ... w im Polynom f substituirt, so kommen die 

 n iibrigen Gleichungen des ersten Systemes auf 



zuriick. Eliminirt man hier die n — 1 Verhaltnisse X 4 : X 2 : . . . : \ , so wird man wieder die Resultante U 

 bekommen. Es muss dann moglich sein, sie unter die Form U= cp((a) 9 (&),♦.. (&)) zu bringen. Endlich 

 setze man/9, y, . . . s an die Stelle von (a), (&), . . . (k) , so hat man die Classengleichung cp(/>, y, ,..«) = o 

 gefunden. Die Reduction von V auf jene Form auszufiihren, diirfte jedoch nicht geringe Weitlaufig- 

 keit der Rechnung verursachen. Es soil daher im Folgenden gezeigt werden, 1. wie man einen Coeffi- 

 cienten von cp fiir sich berechnen, und 2. wie man alle iibrigen Coefficienten durch eine Art von Differen- 

 tiation daraus ableiten kann. 



Wir wollen zuerst den Coefficienten der hochsten Potenz von p in cp (p, q, . . . s) zu bestimmen suchen. 

 Setzen wir daher Ap^ als erstes Glied von cp, und, um cp auf dieses einzige zureduciren, q=r= 

 so verlangt die Losung des zweiten Systemes A = o, da wir p = o nicht zugeben diirfen. Das erste 

 System kommt dann auf 



• • • 



o 



X 







,1L 



dy 



o 



4f_ 



dz 



o 



• • • 



dw 



o 



zuriick. Man sieht hieraus sogleich, dass A die Resultante des Polynoms jf (o, y, z, . . • to) mit nur n Varia- 



beln , und als solche untheilbar und in Beziehung auf die ursprunglichen Elemente vom Grade n (m 



i) 



n— 1 



ist Hierdurch wird die Richtigkeit der obigen Angaben iiber das Polynom cp (p, q, . . . s) bestiitigt. Der 

 folgende Satz wird nun zeigen , wie aus diesem ersten Coefficienten A alle iibrigen berechnet werden 

 konnen. 



Wenn im Classenpolynom cp(/>, y, . . . s~) der Coefficient [a, [3, -y, . . . e] des Gliedes 

 p a qV r t . . . S B i n Function der Elemente des ursprunglichen Polynoms f(x 9 y,...w) bekannt 



ist, so ist 



[a 



l,p+l, T ,...e] 



1 



P+i 



93[a,p, 7, ...e], 



wo die ableitende Operation 93 darin besteht, dass man die Diff erentiale der urspriing- 

 lichen Elemente durch andere urspriingliche Elemente ersetzt, in denen die auf y be- 

 ziiglichen Zeiger um 1 vermindert und die auf x beziiglichen um 1 vermehrt sind, und 

 welche (Elemente) ausserdem noch durch die zuletzt genannten vermehrten Zeiger 

 dividirt sind. 









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