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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



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gleichem Grade sein ; und zugleich ist klar , dass diese Factoren die urspriinglichen Elemente von f nicht 

 enthalten konnen. Ferner miissten^sie alle Reihen jener Substitutions-Elemente gleichmassig enthalten, 

 damit Vertauschbarkeit jener Reihen ohne Anderung der Ausdriicke moglich ware. Dies kann aber nicht 

 sein, weil schon der erste Coefficient von ¥, namlich cp (a. a , «",*•.) die Reihe a, a, a", . . . nicht 

 enthalt. Wenn also <D und ¥ sich durch einen constanten Factor unterscheiden , so kann dieser nur 

 numerisch sein. Er wird daher bleiben , wie wir audi a , j3 , . . . a , . . . annehmen mogen. Setzen wir 



nun a 



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1 und lassen alle andern Substitutions-Elemente verschwinden . so horen die 



Transformations-Formeln auf, solche zu sein, d. h. sie geben die urspriinglichen Polynome wieder. Daher 

 fallen und W gleichzeitig mit cp zusammen, folglich auch mit einander. Sie konnen sich also , wenn wir 

 den allgemeinen Fall wieder herstellen , auch nicht durch einen numerischen Factor unterscheiden. 

 Ist nun A'p /[K das erste Glied von <I>, so haben wir 



wo man sich unter A eine ganze Function n (m — 1) 



u — lten 



Grades der transformer ten Elemente {e, tj, 6, . ..-.} 



dinaten eines Punktes, so stellt jede Losun 



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zu denken hat. Da wir nun im Stande sind, auf diese Elemente die Operationen 33, (£, . . . $ unmittelbar 

 auszuiiben, ohne auf die Substitutions-Elemente zuruckgehen zu niussen , so gilt die Formel auch fur die 

 nicht transformirten Polynome. 



Setzen wir n = 3 , und betrachten die vier Variabeln x, y, z, w als Punkt-Coor d in at en im 

 Sinne Pliicker's, d.h. als unter sich unabhangige lineare Functionen der gewohnlichen raumlichen Coor- 



einen Punkt dar, die vollstandige Totalitat o© 3 wird zur 

 Gesammtheit aller moglichen Punkte oder zum Raume, jede einfach bedingte Totalitat oo 2 zur Flache und 

 insbesondcre eine lineare Totalitat o© 2 zur Ebene, also jede reciproke Losung p : q : r : s zur Ebene, die 

 vollstandige reciproke Totalitat oo 3 zur Gesammtheit aller im Raume vorhandenen Ebenen , die einfach 

 bedingte reciproke Totalitat oo 2 zur Gesammtheit aller eine Flache umhullenden Ebenen , die lineare 

 reciproke Totalitat oo 2 zur Gesammtheit aller durch einen Punkt gchenden Ebenen (oder zu diesem 

 Punkte selbst), die reciproken Variabeln/^, y, r, s endlich werden zu den Flach en-Co ordinaten 

 Pliicker's. Eine algebraische Totalitat oo 2 wird zur algebraischen Flache, ihr Grad wird die Zahl von 

 Punkten, die sie mit zweien sich schneidenden Ebenen gemein hat. Eine Ebene, die eine Losungs- 

 Gemeinschaft erster Ordnung mit einer Flache hat, wird zur Beruhrungsebene. Die CI. ass e einer alge- 

 braischen Flache ist die Zahl ihrer Beruhrungsebenen, welche durch zwei beliebig gegebene Punkte gehen. 

 Die Classen- Gleichung einer algebraischen Flache stellt die Beziehung zwischen den Flachen- 

 Coordinaten einer jeden. ihrer Beruhrungsebenen dar; sie zeigt uns also gleichsam die Flache als 

 Gesammtheit aller ihrer Beruhrungsebenen. Wir haben somit den Satz : Die Classen-Gleichung 

 einer nach Grad freien algebraischen Flache m ien Grades ist in Beziehung auf die 

 Flachen-Coordinaten vom m (m — l) 2ten und inBeziehung auf die Elemente der Grades- 

 Gleichung vom 3 (m — l) 2ten Grade. 



Fur n= 2 wird die vollstandige Totalitat oo 2 zur Ebene u. s. f. Der Grad einer algebraischen 

 Curve ist die Zahl von Punkten, in denen sie von irgend einer Geraden geschnitten wird, ihre Class e ist 

 die Zahl ihrer Tangenten, welche durch irgend einen Punkt gehen. Die Classen-Gleichung einer 

 nach Grad freien algebraischen Curve m ten Grades ist in Beziehung auf die Linien- 

 C oo r dinaten vom m (m — l) ten und in Beziehung auf die Elemente der Grades -Glei- 

 chung vom 2 (m — l) ten Grade. 



Zum Schlusse dieses §. wollen wir noch die oben beschriebene Construction der Classen-Gleichung 

 auf die freie Curve dritten Grades anwenden. Ihre Gleichung sei 



Denkschriften der raathem.-naturw. CI. IV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 



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