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Beitrag zar Theorie der Elimination. 



51 



urspriinglichen Polynoms f, namlich L, M, N, P, Q, R, welche sich wie x 2 , y 2 , **-, 2yz, 2zx, 2xy 



verhalten. Da somit die Gleichungen 



2Lp + Rq+Qr = o 



Rp + 2Mq + Pr = o 

 Qp + Pq+Nr = o 



bestehen, und zwar, weil nur vom funften Grade, identisch bestehen, so folgt aus denselben leicht, dass 



kMN- 

 QR 



P 2 

 2LP 



2 



P <P 



yrcp 



kNL 



Q 



</ 2 cp 



r 2 cp 



RP—2MQ = rpy 



iLM—R 



PQ — 2NR=pq<? 



ist, wo cp (/?, y, r) das Polynom der Classen-Gleichung bezeichnet. Endlich ist noch 



pQR+qRP+rPQ=pqry. 



Obgleich die sechs vorigen Ausdrucke in Beziehung auf p , q , r , den achten und der letzte den neunten 

 Grad erreichen , so seheinen sie dennoch wegen ihrer leichten Theilbarkeit brauchbar , urn das Polynom cp 

 darzustellen, Ich bemerke noch, dass die Functionen P, Q, R auf folgende Art gefunden werden konnen. 

 Istf(x, y, z) das ursprungliche Polynom, so sei 3 df= fidx+fady+frdz. 



In dem Schema 



fi(0 



7) 



fii—r, o,p) 



ft(p,r,—q) 



M 



r 



o,p) 



/aC— r, o,p) 



f*(9>—p> o) 



ersetze man nach und nach die erste, zweite, dritte Verticalreihe durch/^, y, r, und bilde jedesmal die 



Determinante , so wird man die Functionen 



erhalten. 



pP , qQ , rR 



Gibt man der Gleichung der freien Curve dritten Grades die reducirte F orm 



x 3 -{-y s -\-z 3 — 3 axyz = o 



und lasst 6 einen unbestimmten Factor bezeichnen , so muss die Classen-Gleichung durch Elimination von 

 6, x, y i z aus den Gleichungen 



8/> 



x 



ayz , bq = y 2 — azx , 6r 



z 



axy , px + qy + rz = o 



hervorgehen, Substituirt man nun auf der linken Seite der Gleichung 



(1 — a08/>.a?y* + 8 8 ((2ayr— aV)a^ 

 die obigen Werthe von 6/?, bq , 6r , so wird man die Gleichung identisch richtig finden. Setzt man jetzt 



abkiirzend 



(1 — a s )xyz 







W 9 



und lasst die Buchstaben fortschreiten, so gewinnt man folgendes System : 



px 

 pw + (2a qr — a 2 p 2 }x 



qw 

 rw 



+ r 2 x + 

 + q 2 x 



+ r 2 y 

 (2 a r p — a 2 q 2 } y 



+ rz 



+ p 2 z 



o 











+ py + (2*pq — «V) z=o 



Die Elimination von w, x, y, z gibt die Classen-Gleichung 



(/> 3 + f + r s — 3 a 2 p q r) 



4(1 



.3 3 



3 ^3 



O Of r + r'p'+p 3 q 3 — 3 a/> 2 q 2 r 2 ) = o. 









n 







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M 









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