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Die Anwendung linearer Substitutionen zur gleichzeitigen Zuriickfuhrung der Grades- und Classen-Glei- 

 chung der Curve auf ihre allgemeinen Formen hat mich auf den im folgenden §. darzustellenden allgemeinen 

 Satz gcfiihrt. 



§. 29. Ein zur Theorie der Deter min an ten gehorender Satz. 



Es seien 



a , ft 9 c , . . . 



C ' 5 ^ ? ^ , • • * 



n" I " " 



n Horizontalreihen von je // Elementen, 



alle Elemente seien ebenfalls in Verticalreihen geordnet. Die Verticalreihen werden durch Buchstaben, 

 die Horizontalreihen durch Accente unterschieden. Die Determinante aller Elemente sei A. Die reciproken 

 Elemente mogen mit den entsprechenden grossen Buchstaben bezeichnet werden, so dass 



A 



aA + a'A' + etc. = aA + b B + c C -f . . . 



• • 



ist. (Dann ist bekanntlich I ± ABC". . . = A 11-1 ). Jetzt soil ein neues Quadrat von Elementen aut 

 folgende Weise gebildet werden. Man schreibe alle Combinationen mit Wiederholungen zur r ten Classe, 

 welche aus den n urspriinglichen Elementen a, ft, c, ... der ersten Horizontalreihe gebildet werden 



konnen, in eine Horizontalreihe. Diese wird also ( 



n-\- r 



') 



( n t-i Elemente enthalten. Man denke 



sich nun fur a, ft, c, . . . resp. die linearen n gliedrigen Polynome a t -f at ' + a " t" -j- . .'. , bt + b'f 

 -\-b" t" + . . . , etc. gesetzt und sammtliche Combinationen derselben nach den Potenzen und Producten 

 von t , /' , t" , . . . entwickelt. Man schreibe diese letzteren in soldier Ordnung in einer Verticalreihe , dass 

 die Folge der Combinationen mit derjenigen in der obersten Horizontalreihe ubereinstimmt. wenn t in a, 

 i in ft, r in c, u. s. f. iibergeht. (Soil die zuerst erwahnte Horizontalreihe die oberste sein, so muss die 

 Beihe ihrer Elemente mit cC beginnen , und diese ganze Horizontalzeile wird dann der Combination f ent- 

 sprcchen.) Die Coefhcienten der Entwickelung jeder Combination der linearen Polynome werden, mit 

 ihren numerischen Factor en verse hen, in senkrechter Beihe unter einander geschrieben, so 

 dass jeder Horizontalzeile die betreffende Combination von t, f , f , . . . zur Seite stent. 



f- 1 /' 



a 



a r ~ { b 



r a 



r— i r 



a . (r—l)a r - 2 a'b 



r— 1 if 



a r -'b 



Die Determinante dieser neuen Elemente sei Q , so ist Q in Beziehung auf die urspriinglichen einfachen 

 Elemente vom Grade r ( n+ " _1 ) = ^("t^r 1 )- 



Auf ahnliche Weise verfahre man mit den reciproken Elementen A, B, C, . . . , mit dem Unter- 

 schiede, dass in Beziehung auf numerische Factoren horizontal und vertical vertauscht werden. Man 

 schreibe namlich sammtliche Combinationen mit Wiederholungen zur r ten Classe, welche aus A, A. A' . . . 

 gebildet werden konnen, in die erste Verticalzeile , und denke sich dann diese Elemente resp. durch die 

 Polynome Ax + By+ Cz + . . . , A x + By + C ' z + . . . , etc. ersetzt. Die einzelnen Vertical- 

 zeilen sollen dann die Coefficienten der Combinationen von x , y , % , . . . enthalten. 



A 



A-'A 



rA-B 



{r—^A-'AB + A-'B. 



Die Determinante dieser Elemente sei <1> , so ist in Beziehung auf die urspriinglichen Elemente 

 a, ft,c, . . . vom Grade n {n — lH^^T 1 )- Nun multiplicire man alle in der ersten Horizontalreihe 



von 



•■ 



re 



ilie 



1 



D. 



i). 



([ 



hh 



beides 





