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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



53 



von Q enthaltenen Elemente mit den entsprechenden der ersten Horizontalreihe von und addire die 

 Producte, bilde dann ahnliche Productensummen durch Verbindung der ersten Horizontalreihe in Q mit 

 der zweiten, dritten, . . . Horizontalreihe in <t> und schreibe alle so erhaltenen Productensummen in eine 

 Horizontalreihe. Eine zweite Horizontalreihe gehe aus der Verbindung der zweiten Horizontalreihe in Q 

 mit sammtlichen Horizontalreihen in hervor u. s. f . , bis jede Horizontalreihe in Q mit jeder Horizontal- 

 reihe in verbunden ist. Dann wird nach einem bekannten Satz die Determinante aller so erhaltenen 

 Productensummen gleich sein dem Producte Q <S> der beiden vorigen Determinanten. 

 Betrachten wir nun diese Productensummen naher, so ist z. B. 



a r . A + a r - l b . rA ri B + . . . = {a A + bB + cC + . . .J. 



Setzt man 



A'-^ + B'- d 



dA 



dB 



+ • • 



D 



A 



II 



d - + B". d 



dA 



dB 



• • • 



D . 



u. s. f., so ist 



A 1 A' 1 ' A 



"X 



II 



1 . -W . • . A 



//X 



• • 



1 .2. 



. r 



D fX 'D ,a " . . . A r , [X + X' + X" + . 



r] 



und da alle Glieder einer und derselben Horizontalreihe durch dieselbe Operation aus den entsprechenden 

 Gliedern der ersten Horizontalreihe hervorgehen, 



"X 



a r A x A v A a ".. . + etc. 



I . ft . . . A 



1 .2. ..r 



D' x 'D' ,x \..{aA + bB+...y = {aA+bB^...y{aA + ..f\aA , + ..T- 



Urn nun auch nach a, 6 9 . . . zu variiren, setze man 



d d 



a - — \- b 



da 



db 



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o , a — H 



da 



8" . 



u. s. f. , so ist 



r ! 



X ! X' X"! 



aV x V x "... 



l' v 8 



"X 



// 



X' ! X" ! 



. . . «'• , [X + X' + 



• • 



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r ! 



1 . 2 . . . r] 



und demnach 



r ! 



X ! X' ! X" ! . . . 



'X' v/X 



« x a' v ffl" x 



/ / 



X A* A'*' A"*" . . . + etc 



8'* 8 



// 



• • 



X' ! X" ! 



(aA-\-bB-+...y(aA' + bB'+...y.. 



Das entwickelteBesultat wird ein Aggregat von Producten sein, deren Factoren sammtlich die Form 

 a (p)^j(q) _|_ j(p)^Cq) + . . . haben werden, wo (/?), (y) gleiche oder ungleiche Accente bedeuten. 



Sind jetzt A , /?, . . . A ', . . . die reciproken Elemente zu den ursprungliehen «, J, . . . , so redu- 

 ciren sich alle Factoren von der so eben angefuhrten Form aufo oder auf A, je nachdem die Accente 

 GO? 0/) verschieden oder gleich sind. So lange nun die beiden Folgen von Exponenten X, X', X", . . . und 

 |jt, [a, ja", . . . nicht geradezu coincidiren, kann in dem erwahntcn Aggregate kein Product vorkommen, 

 das keinen verschwindenden Factor hatte; das Aggregat muss daher verschwinden. Coincidiren aber die 

 beiden Exponentenfolgen, so gibt es in der Entwickelung von 



i\> >//x»« 



6' x '§ 



X' ! X" ! . . 



{a A + bB + . . .f (aA + bB' + . . .) x ' (« A" + bB" -{- .. .f" 



ein nicht verschwindendes Glied, namlich 



(a A -|- bB +• . . ON (»' A' + bB' + ,. .f (a"A" + b"B"+ . . .f" . . 



A r . 







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