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f , 







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f 











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Von den betrachteten Productensummen haben also alle in der Diagonale des Quadrates liegenden 

 denselben Werth A r , alle ausserhalb liegenden den Nullwerth. Ihre Determinante ist daher 



n -f- r 



Da aber A untheilbar ist, so kann Q keinen andern Factor als A haben, und weil in Beziehung 



auf die urspriinglichen Elemente 0, 6, ... die Functionen Q und A resp. von den Graden n und n^tlT 1 ) 

 sind f so ist 



(n + i)(n+2)...(n + r- 



1 . 



2 



bis auf einen allfalligen numerischen Factor. Urn diesen zu finden, setze man die in der Diagonale liegen- 

 den ursprunglichen Elemente a, h , c" 9 ct" , . . . der Einheit, alle ubrigen aber der Null gleich, so wird 

 1. Was dann die zusammengesetzten Elemente r ten Grades betrifft, deren Determinante Q ist, so wird 

 man sich leicht iiberzeugen, dass alle in der Diagonale der Einheit, alle ausserhalb der Null gleich 



werden. Also ist auch Q 

 Gleichung ohne welters richtig. 



Der gesuchte numerische Factor ist also 1 , und die oben aufgestellte 



Ueber eine merkwiirdige Art, die Classengleichung der Curve dritten Grades zu finden. 



Wenn f(x, y 9 z) = o die Gleichung einer Curve dritten Grades ist, so wird man die Classen- 

 Gleichung derselben Curve erhalten , indem man die drei Verhaltnisse x : y : z : V 6 aus den vier 



Gleichungen 



if 



dz 



r6 , px-\- </y-\-rz 



o 



eliminirt. Cay ley (Cambridge and Dublin Mathematical Journal t. I, p. 97) und Hesse (Crelle 

 XXXVI, S. 172) haben gezeigt, wie man aus diesen eine Gleichung ableiten kann, welche sowohl in 

 Beziehung auf a?, y, z als auch auf/?, y, r homogen und vom zweiten Grade ist. Betrachtet man darin 

 x , y, z als die constanten Coordinaten eines Punktes P der gegebenen Curve dritten Grades und />, y, r 

 als variable Linien-Coordinaten , so ist sie die Classen-Gleichung des Polarkegelschnittes jenes Punktes P. 

 Da dieser Kegelschnitt die urspriingliche Curve in P beruhrt, so ist klar, dass seine Classen-Gleichung 

 zugleich mit dcm Systeme der obigen vier Gleichungen Statt findet. Multiplicirt man nun die lineare 

 Gleichung des Systemes nach und nach mit x , y , z , so bekommt man im Ganzen sieben Gleichungen, 

 aus denen die sechs Verhaltnisse x 2 : y 2 : z 2 : yz : zx : x y : 6 auf lineare Weise eliminirt werden 

 konnen. Man wird so die gesuchte Classen-Gleichung der ursprunglichen Curve in Form einer Determinante 

 siebenter Ordnung erhalten. 



Eine andere Losung der vorliegenden Aufgabe habe ich in §. 28 meiner Abhandlung uber die Resul- 

 tante gegeben, und dort beilautig auf die Existenz von sechs Functionen vierten Grades in />, y, r hinge- 

 wiesen, welche sich wie die Combinationen zweiten Grades der ursprunglichen Variabeln x, y , z verhalten, 

 und vermoge dieser Eigenschaft zu einer dritten von der vorigen ganz verschiedenen Darstellung der 

 erwahnten Classen-Gleichung fuhren. Indem wir nun hierauf naher eingehen , wird sich uns gleichzeitig 

 ein merkwurdiger Beitrag zu der von Hesse und Aronho Id bearbeiteten Theorie der Wendungspunkte 

 der Curven dritten Grades ergeben. 



. 1. Der leichteren Darstellung wegen fassen wir die Aufgabe zuerst etwas allgemeiner, wie folgt: 





wo 



% 



muss 



it, so 



Oder 



