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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



55 



Es sind drei homogene quadratische Polynome f ± , f 2 , yf 3 , der drei Variabeln x, y* z 

 gegeben, und es soil xf x + yf 2 + zf 3 = o sein. Man verlangt eine Gleichung, welehe 

 keine andern Variabeln, als die Verhaltnisse jener Polynome, enthalt. 



Aus dem Systeme der vier Gleicliungen 



f 



6 



P » f 



Qq , f 



%r , (1) 



px + qy + rz = o (2) 



V 



wo F eine Function sechsten Grades in Beziehung auf die Variabeln p, y, r und vierten Grades in Bezie- 

 hung auf die constanten Elemente bezeichnet. Wir setzen daher einfach 



F(p r f 9 r)*=o 



als Endgleichung hin. Wenn wir jetzt mittelst der linearen Gleichung (2) aus den drei quadratischen (I) 

 z. B. die Variable x eliminiren, so erhalten wir drei Gleichungen, welehe nur y 2 , yz, z 2 , 6 enthalten 

 und in Beziehung auf diese Grossen homogen und linear sind. Sie reichen also gerade hin, um uns, nacli- 

 dem wir sie als lineare Gleichungen aufgelost haben, die drei Verhaltnisse y 2 : yz : z 2 : 6 zu liefern. Wir 

 bekommen also fiir das Verhaltniss y : z zwei Ausdrucke. Werden diese einander gleich gesetzt, so 

 muss die linke Seite der reducirten Gleichung das Polynom der gesuchten Classen-Gleichung als Factor 

 enthalten. 



Es moge f irgend eines der gegebenen quadratischen Polynome und to die entsprechende unter den 

 Variabeln />, q , r bedeuten, so wird durch das genannte Verfahren 



P 2 f(B> Vi «) = f^—qy — rz,py,pz) 



bp 



O). 



Definiren wir nun die Operationszeichen p, q, r durch die Gleichung 



so haben wir 



dx 

 p 



a 



d 



d 



dy cl% 



. q . r 



• P • . T 



a^+A + T'j 



f(.— </y—rz, py, pz) = ■r(zq — yt)*f. 



Wir bekommen so im Ganzen folgende drei Systeme von je drei Gleichungen: 



(z<\—ytyf=2Qp % w , (xt — zpyf=>2by 



U) 



» (yp 



xqyf=2Qr 2 <» 



5 



und, wenn wir jedes derselben wie ein System linearer Gleichungen behandeln, 



2 6/> 



: z 2 : 



2yz : y 2 



(qq, qr, rr) : (<o, qr, rr) 



26y 2 : x 2 : 2xz : z 2 = (tx, pr, pp) : (to, pr, pp) 

 26r 2 : y 2 : 2xy:x 2 = (pp, pq, qq) : («>, pq, qq) 



(qq, <o, rr) : (qq, qr, <d) , 

 (rr, co, pp) : (rr, pr, a>) , 

 (J)}), co, qq) : (pp, pq, to), 



wo der Kiirze wegen 



(qq, qr, rr) = 2 ± qq/; . qr/* 2 . tif s , etc. 



gesetzt ist. Die zwolf hier vorkommenden Determinanten konnen aber auf sieben ganze Functionen zuriick- 



gefiihrt werden. Da namlich 



st, so folgt 



pp + (j^-i-ri 



o 



oder 



r (qq, qr, rr) = (qq, — q(pp + yq) ? tyP + yq) 2 ) = /> 3 (qq, — pq, PP), 



(qq, qr, rr) : (pp, pq, qq) 



p s : r 3 





■ 



1 



1 . 















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y 







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