



1 









J 





\ f 



I 





\ 























\ 



i r 



. 





I 









ft 





56 



3 



Schlafli. 



Die zwei Polynome sechsten Grades auf der linken Seite dieser Proportion sind also resp. durch p 

 und r 3 theilbar. Wir diirfen daher setzen : 



(qq, qr, ti)=8p s W , (rr, j>r, £p) = 8y 3 ¥ , Op, pq, qq) = 8r 3 W 



und *f (/>, y, r) wird eine ganze Function dritten Grades in/?, y, r sein , die in Beziehung auf die 

 ursprunglichen Elemente ebenfalls vom dritten Grade ist. Es gelte nun die Gleichung 



f (,r, y, z) = ax 2 + by 2 + c z 2 -f- 2 rfyar + 2^.?^ + %f x V 



symbolisch fur alle drei gegebenen Polynome, indem man die Elemente nur mit den untern Zeigern 1,2, 3 

 zu versehen braueht, um die einzelnen Polynome zu untersclieiden. Dann ist 



±--p$f=:br z — 2dqr-\-cq 2 , 

 \- q q f = cp 2 — 2 ep r + a r 2 , 

 L- Xl f = aq 2 — 2fpq + bp 2 , 



J-ptf 



aqr -\- epq -{- fpr — dp 2 , 

 b rp + fqr + *//; y — 



c p q -f- rf/> r + ^ '/ ^ — 



ey 2 , 



f 



Aus dieser Uebersicht wird klar, dass in den Determinanten (to, qr, rr) und 

 mit c und d bezeiclmeten Elemente fehlen. Wenn daher symbolisch 



(qq , to, rr) resp. die 



d 



d 



tO 



dc 



P 



gesetzt wird, so ist 



dc t 



+ 9 



d 



dc 



d 



dc 



, etc 



<*>— - (flq? flt, tt) = 2//(o>, qr, rr) , w— ,(qq, qr, rr) 



dc 



dd 



2/> 2 (qq, to, rr), 



also 



dV dW 



(«>, qr, rr) = 4/>.to- T — , — (qq, to, rr) = bp.w 



dc 



dd 



Setzen wir jetzt der Kurze wegen 



L 



d^ a _ dW ^ 7 tfV D rf¥ ^ rf¥ _ tf^ 



to , ilf = to , iV= to-— — , f = to , f> = to — - — , Jti — to 



rf# 



rf6 



rfc 



rfrf 



f/e 



df 



so sind diese sechs Polynome in Beziehung auf/? , y , r vom vierten und in Beziehung auf die constanten 

 Elemente vom zweiten Grade. Wir konnen nun leicht die drei obigen Reihen von gleichen Verhaltnissen 

 auf eine einzige Reihe zuriick bringen. Es ist 



6 : x 2 : y 2 : z 2 : 2yz : 2zx : 2xy = W : L : M : N : P : Q : R. (3) 



■ 



Wir kennen nun drei Reihen von Polynomen vierten Grades in p, q , r, die mit den Variabeln x, y* z 

 proportional sind. Substituiren wir dieselben in der Gleichung p x -\- qy -\- rz = o, so erhalten wir 



2Lp 



Rq+ Qr 



Rp + 2Mq± Pr 



o 



o 



5 



(*) 



Qp 



Pq + 2Nr = o 



Diese Gleichungen miissen alle identisch sein; denn sonst hatten wir eine Endgleichung vom fiinften 

 Grade, wahrend sie doch nothwendig vom sechsten ist. Man kann iibrigens die identische Gultigkeit audi 

 direct beweisen, indem man wiederum die obigen Determinanten an die Stelle der />, /i, . . . zuriick 

 bringt und dann eine der Operationen p, q , r mittelst der Gleichung pp -\- qq + rx —o eliminirt. Betrachten 

 wir aber nur die explicite vorhandenen />, r/, r als die Variabeln und die Functionen 2 />, /2, . . . als die 

 Elemente des Systemes, so schliessen wir, dass je drei auf eine Horizontalreihe fallende reciproke 

 Elemente mit />, y, r proportional sind, woraus leicht folgt, dass alle sechs reciproken Elemente 







ffO 



Coei 



wird. 



h ist 



oder 



fe Res 



y 



