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f 



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Betrachte 



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e 



reciproke 

 Elemente 



*»«**?. 



Beitrag zur Theorie der Elimination. 



57 



mit/) 2 , if, r 2 , qr, rp,pq proportional und daher durch eben diese Grossen theilbar sind. Wir setzen 

 demnach : 



4 MN— P 



iNL 



Q 



4 LM—R 



fF, 



r 2 F , 



QR — 2LP=</rF , 

 RP—2MQ = rpF , 

 PQ — 2NR = pqF , 



(5) 



wo F eine gauze Function sechsten Grades in /?, q* r und vierten Grades in Beziehung auf die urspriing- 

 lichen Elemente bezeichnet. Es ist klar, dass alle diese Gleichungen identische sind, so gut als die 

 Gleichungen des vorigen Systemes (4) , aus dem sie geschlossen wurden. Bedenken wir jetzt, dass die 

 Coefficienten in den drei linearen Gleichungen (4) mit x , y , z proportional sind , und heben hiedurch die 

 gegenseitige Unabhangigkeit von y>, y, r wieder auf, so miissen alle sechs zuletzt angefuhrten reciproken 

 Elemente verschwinden, was offenbar nur geschehen kann , indem 



wird. Ist diese Gleichung nicht identisch, sondern wird durch sie wirklich eine Abhangigkeit zwischen 

 /?, y, r gesetzt, so kann sie nichts anderes als die gesuchte Endgleichung sein. (Ware sie aber identisch, 

 so wfirde daraus folgen 



L = l 2 , M=n 2 , N 



, P = 2(xv , = 2vX , R=2l l i , 



wo X, (Jt, v ganze Functionen zw r eiten Grades bezeichnen, und ferner 



\p-\-\Lq-\-vr =o 

 eine identische Gleichung. Eine solche ist aber nur moglich, indem 



ist. Man hatte also 



\=aqr , \L = j3rp , v = y/?y , a + /? + y 



o 



x : y : z 



a 



13 



P 



9 



Es ist nun leicht einzusehen , dass das ursprungliehe System (1), (2) keine solche Losung haben kann.) 



Wen 



QR — 2LP = qrF , 2Lp + Rq + Qr = o 



eliminirt, so ergibt sich 



pQR-\-qRP+rPQ = pqrF. 



Dies ist die in §. 28 meiner Abhandlung uber die Resultante gegebene Form el. 



Aus dem Friiheren ergibt sich leicht 



f (pi), qq, rr) 



2pqrW , 



oder 



fiip 



r 



q) 'fit—** o,p) - fi(q. 



fz(o, r, — ?) . f 2 (— r, o,;>) . f % {q, 



fs(.o 



r 



</) • fs( — r , o, p) . /* 3 (y, 



P' 



o) 



P' 



o) 



p> 



») 



2pqrW. 



Es bleibt uns noch iibrig, die Bedeutung der Function W zu untersuchen. Ist zugleich mit dem 

 Systeme (1), (2) auch die Gleichung W (/?, y, r) = o erfullt, sind also die zwei Verhaltnisse p : q : r 

 durch die zwei Gleichungen F= o, ¥ = o bestimmt, so wiirde aus den Proportionen (3) 6 = o folgen, 

 wenn eine der sechs Functionen />,... von Null verschieden ware; und da das Verschwinden aller 



v 



n 



n 



f* 



o verschwinden. Da wir aber eine solche Beschran- 



Denkschriften d. mathem.-naturw. CI. IV. Bd. Abhandl. v. Nichtmitgl. 





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