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Schlafli. 



kung der Allgemeinheit der Polynome \ f x , f 2 , f 3 nicht vorausgesetzt haben, so bleibt uns nichts anderes 

 iibrig, als alle secbs Functionen Z>, . . verschwinden zu lassen. Daher der Satz: 



Wenn die zwei Verhaltnis se p : q : r durch die Gleic hung* en F = o, ¥ = o bestimmt 

 sind, so geniigen sie den sec lis Gleic hung en L = o, M=o, JV= o, P = 0, O = 0, R = 0. 



Noch mehr. Wir brauchen nur eine der Gleichungen (5) zu differentiiren , um einzusehen, dass als- 

 dann auch die drei ersten Differential-Coefficienten von F verschwinden. Wir schliessen hieraus , dass die 



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achtzehn Losungen des Systemes F—o, W = paarweise zusammenfallen. Es gibt also nur neun ver- 

 schiedene Losungen. 



Die Function ¥ hat noch eine andere Bedeutung. Ersetzen wir namlich das System (1), (2) durch 

 Folgendes : 



D 



x 



d 



dx 



1 d . f d 



y^ + z 



dy 



d% 



T-Dfi 



Op , -L-Df t = bq , -M>/i = 6r, (6) 



px+qy-{-rz = o , px + </y -\- r z 



o 



(7) 



und eliminiren mittelst der Gleichungen (7) z. B. x und x aus den Gleichungen (6) , so bekommen wir, 

 ahnlich wie oben, ein System von drei Gleichungen 



(zq — yi)(zq—y'i)f=2bp 



(O 



und indem wir von hier aus ganz denselben Weg befolgen, gelangen wir zu den Proportionen 



6 : xx' : yy : zz : (yz y +«) '• (_zx' + z x) : (xy + xy) \ 



W : L : M : N : 



P 



Q 



R 



) 



(8). 



Die identischen Gleichungen (4) und (5) werden ihre Geltung behalten. Aber, da das System der 

 funf Gleichungen (6) und (7) nur gerade hinreicht, um die funf Verhaltnisse x : y : z, x : y : z ' , : x 

 zu bestimmen, so bleiben/?, q, r frei, und F wird im Allgemeinen nicht verschwinden. Daher werden 

 auch, wenn wir W = o setzen, die sechs Functionen />, Jf", JV, P, Q, R nicht verschwinden, und wir 

 bekommen 8 = o. Also ist ¥ die Resultante der funf Gleichungen 



r-Dfi 



o , -l-Df 2 = o , -^-Df 3 =o , px + qy + rz = o , />#' + yy -f^' 



o. 



Bedeuten a, /?, y willkurliche Factoren, so sind die durch die Coordinaten x. y, z und a?', a?', #' 

 bestimmten Punkte P, P ein gemeinschaftliches Paar harmonischer Pole aller in der durch die Glcichung 



dargestellten Doppelschaar enthaltenen Kegels chnitte, und p , y, r sind die Linien-Coordinaten der diese s 



* • 



Polenpaar verbindenden Geraden PP. Es ist bekannt, dass beide Punkte P, P sich auf einer und der- 

 selben Curve dritten Grades bewegen, deren Glcichung 



<P 



I + 



df, 



df s 



*ft 



dx 



dy 



dz 







ist. Also stellt die Glcichung W = o die Curve dritter Classe dar , welche von alien durch die Polenpaare 

 eines und desselben Systemes (es gibt deren drei) gelegten Geraden P P' umhiillt wird. Es ist dies die- 

 selbe Curve, welche von Hesse in Crelle XXXVIII, S. 250 — 256 betrachtet wird. Dort ist ihre Glei- 

 chung aus der reducirten Form des Polynoms cp, wo alle sechs Combinationen , wie x 2 y, wegfallen, her- 

 geleitet. Hier aber haben wir ¥ ohne irgend eine besondere Annahme hinsichtlich der Polynome f t , f 2 , f\ 

 gefunden. 



§. 2. Als Vorbereitung auf das Folgende legen wir uns die Determinante 



Q = ((ap+/9q + T r) 2 , (ap+/?q + T r) (a^+/9'q + T 'r) , (a p+p q + T^) 2 ) 



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11 





Dann 



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