f 





I 





60 



ist. Da aber q 



mS + m'S' + m"§" , r 



S chid flu. 



/& 8 + w' 8' + »" 8" ist, so folgt aus (9) 









2^±qqp . qtp' . xt<p 



Aber 



^/ 



8 



) 



m 



• 



m' 



• 



ff 



m 



n 



• 



»' 



• 



n" 



u 



• 



m' 



• 



ff 



u 



W (u , m' , tt") 



folglich zuletzt 



oder auch 





I y ±mn' u =Ap , 

 *? (/?, y, r) = A . <p (//? + wiy + ft r , l' p-\-mq-\-n' r , f ' p-\-m q + n" r) 



also 



wenn 





Gebrauchen wir nun die Taylor'sche Formel, um die rechte Seite dieser Gleichung nach den fallenden 

 Potenzen von p zu entwickeln , und fiihren dafiir die Operationszeichen 







m=X 



a 



d 



+ x '^-+*" 



rf 



d\t. ' rff/ ' rf(JL 



II 



m 



d . , d . ff & \ 



- + m ~di^+ m sir) ' n 



dl 



I 



d 



dv 











• 



ein, so erhalten wir, unter Beriicksichtigung von mA=o, nA=o, 



Wir haben nur noch nachzuweisen , dass die Operationen m und n auch ohne Kenntniss der Substitutions- 

 Elemente ausgefuhrt werden konnen. 

 Es seien 



I 



d 



dt 



+ *' 



d 



dt 



r-+X" 



d 



dt 



ff 



L , |x 



<z 



d* 



M , v 



d 



dt 



+ . . . = N 









.i 





drei neue Operationszeichen, so ist 



Ferner seien T, U, V irgend drei verschiedene Combinationen zweiten Grades der Operationszeichen 

 L, M, N, so werden alle Coefficienten von W (/>, y, r), als Functionen der Elemente des andern Systemes 

 und derjenigen der Substitutionen betrachtet, die Form 











: 











Z+Hily + Vcp' + X'f) . U (|x p + |x>' + fxV') . V(vp + v>' + v>") = A . I'±l> . Up' . Vp" 



haben. Uebt man nun auf einen solchen Coefficienten in W z. B. die Operation m aus, so sind wegen 

 tttA = o nur die Symbole T, U, V zu differentiiren. Tragen wir dies auf seine links vom Gleichheits- 

 zeichen stehende Form I± Tf . U/ 2 . V/* 3 , zuriick, und betrachten da z. B. f 2 explicite als lineare Func- 

 tion von [x, |x, |a" und quadratische von /, £' , f', so brauchen wir die Operation m nicht auf die explicite 

 vorhandenen |x , jx' , jx" , sondern nur auf die Symbole T , U , V auszmiben. Obschon also eigentlich z. B. 



ware, so werden wir doch das erste Glied T f weglassen und nur (mT)^ 2 setzen. Nun ist Tf 2 ein Element 

 von f 2 (x , y , z) und (mT)f 2 ein anderes desselben Polynoms, worin der auf y beziigliche Zeiger um i 

 vermindert , und der auf x beziigliche um 1 vermehrt ist , multiplicirt mit dem anfanglichen auf y beziig- 

 lichen Zeiger. Drucken wir, um dies ganz deutlich zu machen, irgend ein Glied eines der drei urspriing- 

 lichen Polynome f durch 



2! 



a ! ]3 ! 7 ! 



{a,£,T}*y* T > 0+/?+T = 2] 



aus, so ist 



{o, p, T } = 4-L«M' , NT/-, undmfa,/?, T }=/9. -4-L° + ' M^fff^ . {oc+1 , /?-l , T }. 



















* 









