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dagegen einfach 



Schl a fl i. 



ebenso 



mf i = a i , etc., nu^^o, etc., 



n e$ = a z -\-e i , u. s. f. 



.• 



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/ 1 ? & f 2 ? *> /S 



einer Curve dritten Grades. Dann ist j^ 7 (/>, 0, r)=o 



die Classengleichung derselben Curve, und da pdx + q dy + rdz = o ist, so wird wegen px-\-qy + rz=o 

 auch xdp+ydq + zdr = o. Denkt man sich fiir x,y,z die mit diesen Variabeln proportionalen Func- 

 tionen von p , y, r gesetzt, so ist x dp +ydq + z dr = o die Differential-Gleichung der urspriinglichen 

 Curve in Beziehung auf ihre Classe. Sie hat die drei Formen 



2Ldp + Rdq+Qdr=o , Rdp + 2Mdq + Pdr = o , Qdp + Pdq + 2 Ndr=o. (a) 



Diese Differential-Gleichung wird, wie wir gesehen haben, mit Null identisch, wenn die Verhaltnisse 

 p : q : r den zwei Gleichungen F=o, ¥ = o genugen. Durch diesen Umstand sind vielfache Tangenten 

 der urspriinglichen Curve angezeigt. Da die Curve dritten Grades keine Doppeltangenten hat, so sind es 

 ihre Wendungs-Tangenten. Hieraus folgt der Satz : 



Die durch die Gleichung *F (p , q , r) = o dargestellte Curve dritter Classe wird 

 von sammtlichen Wendungs-Tangenten der urspriinglichen Curve dritten Grades 

 beriihrt. Sie ist iibrigens durch diese neun Tangenten hinreichend bestimmt, wie wir unten zeigen 

 werden. 



Wir miissen ferner schliessen , dass, wenn /?, y, r den Gleichungen F=o, ¥ = o genugen, aber dp, 

 dq, dr unter sich unabhangig sind, die Ausdriicke zweiter Ordnung, wie 



2dL . dp + dli . dq + dQ . dr , 



Quadrate sind. Ein directer Beweis hievon ist zu wiinschen. 



Wir lassen hier noch eine andere Aufgabe ungelost. Die Gleichung F=o ist namlich nur ein parti- 

 culares Integral der Gleichungen (a). Man kann aber von jeder derselben das allgemeine Integral verlangen. 

 Wenn f die reducirte Form hat, so ist es leicht, die drei allgemeinen Integrate der Gleichungen (a) zu 

 finden. Aber es scheint nicht moglich, von da auf die allgemeinen Integrale, welche der vollstandigen 

 Form von f entsprechen , zuriick zu gehen. 



Theils um schon Gesagtes zu verificiren, theils um auf den letzten §. vorzubereiten, setzen wir unbe- 

 schadet der Freiheit der urspriinglichen Curve dritten Grades , die reducirte Form ihrer Gleichung 



f=x 3 +y s +z s + 6xxyz 



o 



voraus. Werfen wir dann , um die friiheren allgemeinen Formeln anwenden zu konnen , einen Blick auf 



das Schema 



so bekommen wir 





a 



. b 



. c . d 



X 



1 



. 



. . X 



y 



o , 



, 1 



.0.0 



z 



. 



. 



.1.0 



d . e . f 



.0.0 



o . x . o 

 o . o . y. 



¥ 



*(p* + q 5 + r 3 ) — (1— W)pqr, 



L 

 M 



p 2 qr — 2/.p (q 



pq°r — 2xq (r 3 +/> 3 ) 

 p qr 2 — 



4 



> 2 2 



x- q' r 



— 4 x 2 r> 2 , 

 2xr(/> s + y 3 ) — 4x 2 />y, 



P=p(y 3 + r 3 _^) + 4x«/ 2 r 2 + 4x 2 /) 2 yr, 



(?=?0 3 +/> 3 — f/ 3 ) + 4xry + 4x 2 ^ y V, 

 R=r (/> s + y 3 — r 3 ) + 4x/>y + 4x 2 />yr% 



f- 





wo • 



Durch 



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