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Beitrag zur Theorie der Elimination. 



63 



F 



V 



1 



r 6 + 2 (1 + 16/) (pV + *V +/>V) 



4(l+8x 8 )(yV + ry 



3 _.3 



,2\3 



4(l+8x s )(yr + 2x/) 2 ) 

 4(l + 8x 3 )(r/> + 2xy 2 ) 3 



4(l+8x 8 )(/>y + 2xr 2 ) s 



f q 6 + 6 x f if r 2 ) — (p* + f 



3\ ,.3 



2k x 2 p q r (p 



3 



3 



2 „2 M 2 



y 3 + r 3 ) + 24/(1 + 2/)p 2 q 2 t 



r 



\2/. 2 pqr) 



(r s +p s 

 (p* + 1 



(1+16x J )/>» — 12x 3 pqr) 



(l + 16x f )f — 12x 2 /)yr) 2 

 (l + 16x 3 )r 3 — 12x>yr)». 



Die drei letzten Formen von ^ lassen die Wendungs-Tangenten erkennen. Bleiben wir bei der ersten 

 Form, so haben die zwei Gleichungen 



qr 



2 



x 



P 







</ 3 + r 



(1 + i6x 3 )/) s — 12x 2 ;>yr=o 



die sechs Losungen 



p : q : r 



1:1: 



1 : 



2/ . 



2x : 1 . 



i : « : 



« : 



— 2 x , 



2x :i 2 , 



•2 • 



* : $ : 



*9 



r : 



— 2x , 

 2 x : / , 



wo i die imaginare Kubikwurzel der positiven Einheit bezeiehnet. Die Wendepunkte selbst ergeben sich 

 durch Differentiation der zweiten Gleichung aus den Proportionen 



x : y : z 



(1+ 16x 3 );/ — kx 2 qr) : (f — Wpr) : (r 



4/ />y) 



Dureh Substitution der vorigen Losungen erhalt man 



x : y : z 



1 : 1 : o . 

 1 : o : 1 , 



•2 ■ 



/ : i : o , 



•9 • 



^~ : o : i , 



* : « : o 



•2 



^ : o : ^ 



5 



Die sechs hierher gehorenden Wendepunkte sind also durch die zwei Systeme 



x' 



y 







und 



x 



z' 







z = o 



bestimmt. 



y=o 



Combiniren wir die Gleichungen F=o, f = o 5 so bekommen wir 



x 2 F+y 2 + 2(l+8x 8 )^yr^=(t+8x 8 ){4x 2 (/r 8 + ^^ 8 +^Y) — — 16x3 )^Y^I= a 



Wir diirfen also setzen : 



pqr 



2x , ^ + ^ + r 8 = 2 — 8x 8 , /* 



3 ,3 



r B p*+p 3 q s =l 



16/ 



Dann sind /3 8 , y 8 , r 8 die Wurzeln der Gleichung 



x 



(2— 8x 8 )a? 2 + (l — 16x 8 )a? + 8x 8 = (a?— l) 2 (a? + 8x s ) =o 



Man kann also setzen 



p 



8- 3 



X 



y 



1 , r 



1, 



mit Permutationen , also im Ganzen sechs Systeme, wovon je zwei eoincidiren. Setzt man p 

 so wird qr = 1. Man hat also 



2x 



p : q : r 



2 x : 1 : 1 , 



2* •: 

 x : i : i 



? 



2 



A o £ o 7 - • 



iin Ganzen nur neun verschiedene Losungen. Von den achtzehn Losungen des Systemes F = o , ¥ = o 

 fallen also je zwei zusammen. Dies wird dadurch bestatigt, dass die DifFerential-Gleichung erster Ordnung 

 von F = o identisch wird. Das System ist namlich vermoge dieses Umstandes auch noch erfullt, wenn 

 die Variabeln Incremente erster Ordnung erhalten, welche der Gleichung dW = o genugen. Fiir p : q : r 



2x : 1 : 1 wird diese Differential-Gleichung dp-\-xdq-\-*dr 



o. 





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