Schlafli. 



Substituirt man irgend eine der obigen neun Losungen in den seeks Polynomen Z/, M, . . . , so ver- 

 sehwinden alle, wie oben vorausgesagt wurde. 



Wir wollen jetzt eine der drei Differential-Gleichungen (a), welche durch F = o befriedigt werden, 

 z. B. die erste 



2Ldp + Rdq+Qdr = o 



direct integriren. Da 2 Lp + R q-\-Q r = o ist, so muss die Integral-Function vom o ten Grade sein. 

 Man findet 



2Ldp + Rdq+Qdr 



(qr + 2xp)%d 



f/ 3 + r 3 — (1 -f 16x 3 )/) 3 — 13x 3 /9<yr 



(</r + 2x/9 3 ) 3 / 3 



Die durch die Gleichung #' = o dargestellte Curve dritter Classe ist durch die neun Wendungs- 

 Tangenten der urspriinglichen Curve dritten Grades , welche sie beriihren soil, vollig bestimmt. Denn, 

 wenn man eine kubische Gleichung mit unbestimmten Coefficienten hinsetzt tind fur /?, q , r nach und nach 

 die von den obigen neun Losungen gelieferten Werthe substituirt, so findet man als Werth der Determi- 

 nante neunter Ordnung, welche dem gesuchten Coefficienten von p 3 entspricht, 



_3 9 .2x. (l+8x 3 ) 6 . 



Also sind die neun Gleichungen, welche zur Bestimmung der Coefficienten dienen sollen, sammtlich 

 von einander unabhangig. 



§. 4. Die Function W steht noch in einer andern merkwiirdigen Beziehung zur Theorie der Wende- 

 punkteder Curven dritten Grades. Da namlich die Gleichung W (p . y, r) = o durch die neun Wendungs- 

 Tangenten befriedigt wird, so ist War, dass, wenn nun fur p , y, r die abgeleiteten Polynome f x , f 2 , f s sub- 

 stituirt werden, die sich ergebende Gleichung sechsten Grades in x , ?/, z durch die neun Wendepunkte 

 ebenfalls muss befriedigt werden. Es tritt aber noch der merkwiirdige Umstand hinzu, dass diese Gleichung 



in zwei Gleichungen dritten Grades zerfallt, und somit zwei neue Curven dritten Grades darstellt, von 

 denen jede ihre Wendepunkte mit der urspriinglichen Curve gemein hat. Um diese Eigenschaft der Func- 

 tion *P* noch bestimmter anzugeben, nennen wir jf (a?, #, z) das ursprunglich gegebene Polynom dritten 

 Grades, setzen 



df = 3 (fi dx-\-f 2 dy+f 3 dz) 



<P 



v*± 



dft 



*fz 



dfi 



d x 



dy 



d% 



216 V / ? 



wo y das Zeichen einer Functional-Determinante ist. Dann ist identischer Weise 



— V(fi, f„ f,) = */*+?*, (1) 



wo a eine bekannte Function vierten Grades der urspriinglichen Elemente bezeichnet, namlich dieselbe, 

 welche in der Hesse'schen Formel 



W = k**f+p 9 (2) 



vorkommt, wo wiederum /? eine ganze Function sechsten Grades derselben urspriinglichen Elemente 

 bezeichnet. Die Constanten a und /? dienen dann ferner zur Bestimmung des Factors X, welcher das 

 Polynom 'kf-\-<p in drei lineare Factoren zerlegbar macht. Werden namlich die Wurzeln der Gleichung 



mit y , y , i' bezeichnet , so ist 



(x + 4 a) 



P 



6X=Vy + 1 / t'+V / 



fi 



Unsere 



Formel (1) kann somit zur numerischen Berechnung von a gebraucht werden und gewahrt hierin einen 



Vortlieil 

 UebefetJ 



mir 



ir dies 





fe Gleii 



zu 



sobst 



Verdeicl 



JO 



finden 



Wir liabi 



Die Forn 



= der I 



Endlicli i 



in die lin 

 I, y, % 



lie Resul 



Die z 



annehme 



T! 



rAcirte 



r- 



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e jenes 



Curv 



Denks 



