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 i mit 8 und J 





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Beitrng zur Theorie der Elimination. 



67 



px' -\-qy' -\-rz =o 

 als Gleichung einer Tangente dieses Kegelsehnittes , so wird 



F 



/* / 11 /12 / 13 

 y / 21 / 22 / 23 

 / 31 / 32 / 33 



r 







(a) 



die Classengleichung dieses Kegelsehnittes. Sie ist aber nicht nur in Beziehung auf die Liniencoordinaten 

 p, q , r , sondern aueh in Beziehung auf die Coordinaten x, y, z des Poles Pvom zweiten Grade. Wenn 

 wir daher jetzt/?, q, r als constant und x 9 y, z als variabel denken, so gibt dieselbe Gleichung V= o wieder 



ein Kegelschnitt (F) als Ort des Poles P, dessen Polare fortwahrend die feste Gerade (/?, */, r) beruhrt. 

 Ist nun diese eine Tangente der urspriinglichen Curve (^), so geht der Ortskegel- 

 schnitt (F) durch ihren Beriihrungspunkt und wird von ihr hier e ben fa lis beruhrt. 

 Also auch umgekehrt: wenn die feste Gerade (p, q, r) den ihr entsprechenden Ortskegelschnitt (V) beruhrt, 

 so ist sie eine Tangente der urspriinglichen Curve (/"). Wenn wir daher in der Classengleichung des Orts- 

 kegelschnittes die variabeln Liniencoordinaten mit den constanten p, q, r zusammenfallen lassen, so 

 bekommen wir eine Bedingung fur eine Tangente der urspriinglichen Curve QT). Also ist 



F (/?, q, r) 



P 



p 



d 2 V 



d 2 V 



r 

 d 2 V 



o (b) 



dx dxdy dxdz 

 d 2 V d 2 V d 2 V 



<l 



dydx dy dydz 



d 2 V d 2 V d 2 V 



r 



dzdx dzdy dz 



die Classengleichung der urspriinglichen Curve. Die analytische Herleituug dieses Ausdruckes fur F wird 

 zeigen , dass kein numerischer Factor beizufugen ist. 



Um den Gang des Beweises nicht durch eine Digression zu unterbrechen, unterliessen wir es, die Be- 

 hauptung zu begriinden , dass, wenn die feste Gerade (/?, q, r) die urspriingliche Curve im Punkte {x^y^z) 

 beriihre, auch der Ortskegelschnitt (F) Tangente und Beriihrungspunkt gemein babe. Obschon dies fiir die 

 geometrische Anschauung War genug wird , wenn man den Pol P ein Element der urspriinglichen Curve 

 durchlaufen lasst, so wollen wir es doch noch durch die analytische Betrachtung der Gleichung F= o 

 verificiren. Es seien x , y, z die Coordinaten des Punktes Q, in welchem die feste Gerade (p , q, r) die 

 urspriingliche Curve beruhrt, folglich p : q : r = f t : f> : f z , ferner x-\-hx , y-\-hy', z-\-hz die Coordinaten 

 eines Punktes P der Curve (F). Wir denken uns in der Gleichung F= o die Grossen^, q, r durch 

 fi> fz> fs ersetzt, multipliciren die drei letzten Verticalzeilen resp. mit x, y, z und subtrahiren ihre Summe 

 von der ersten Verticalzeile und wiederholen dann dieselbe Operation in Beziehung auf die Horizontalzeilen, 

 so fallen aus der Function F die von h freien Glieder weg: , und wir durfen h als verschwindend annehmen. 



Vernachlassigen wir dann die Glieder in h 2 , h 3 , etc., so erhalten wir fiir den Punkt P 



V 



/i + y'U + *tf 







wo 216 cp die Functional- 

 Curve cp 



f 



auf der 



o liegt , d. h. wenn er kein Wendungspunkt der urspriinglichen Curve ist , so ist 



(x 



)/". 



) /". + (* + **')/» 



n 



f*+*f>) 



eine Grosse von der Ordnung A 2 , d. h. wenn der Abstand QP von der ersten Ordnung ist, so weicht P nur 

 um eine Grosse zweiter Ordnung von der Geraden (p, q, r) ab. Diese wird also vom Kegelschnitt (F) in 



Q beruhrt. 



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