Ich habe, um alle diese Fragen anschaulich hervortreten zu lassen und 

 zumal, weil die Lehrbücher nicht eben eine allzureiche Auswahl an typischen 

 Beispielen enthalten, zahlreiche Beispiele mit ihrer graphischen Darstellung 

 eingefügt, für deren sorgfältige Ausführung ich meinem Assistenten, Herrn 

 Dr. L. P au seh und Herrn stud. math. Meierhöfe r zu Dank verpflichtet bin. 



§ 1. Allgemeine Formulierung. 



Gehen wir einen Augenblick auf den bekannten, schon von Poincare 

 in seinen „Courbes definies par des equations differentielles u ') gebrauchten all- 

 gemeinen Ansatz für die gestaltliche Diskussion der Integral kurven einer 

 Differentialgleichung erster Ordnung 



1) F(x,y,y') = 



zurück, in welchem die Größen x, y und y = z als rechtwinklige Raum- 

 koordinaten gedeutet werden. Jedem Punkt der Fläche F (x, y, i) = ist 

 eine bestimmte durch die Differentialgleichung eindeutig gegebene Richtung : 



2) dx : dy : dz = Fl ^ F * 



1 J z — 1 



zugeordnet, so daß die Integralkurven die Fläche eindeutig überdecken. In 

 der Projektion auf die asy-Ebene bildet 



3) F = 0, ~ = 



da 



die Umrißkurve, „Diskriminantenkurve", die im allgemeinen Spitzenort der 

 Integralkurven ist. Andererseits ist durch die, eine Lageneigenschaft gegen 

 die a;y-Ebene ausdrückende Bedingung 



4) F=0, '-l + e .-*l=0 



1 ' dx ' dy 



bekanntlich im allgemeinen die Linie der Wendepunkte der Integralkurven 

 in der xy-Ebene bestimmt. 



Haben beide Kurven einen Zweig gemeinsam, längs dessen also die 

 Gleichungen 



o) F = 0, — - = 0, \- 2 — - = 



' dz dx ' dy 



zugleich erfüllt sind, so bildet dieser im allgemeinen eine singulare 

 Lösung der Differentialgleichung. 



x ) Journal des mathematiques 1881, 82, 85, 86. 



