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49) y — y = z (x — x ) + 



,.+}. 



) - 



+ ^b " -a ' ff- ■ (*o — *o)* • (* — *o) ; ' + • 



x+k 



x\ ; " 



12. Dadurch sind die längs der Geraden y — 1 x = 0, als Zweig der 

 Diskriminantenkurve liegenden singulären Stellen der Integralkurven 

 charakterisiert. Im einfachsten Falle, Ä = 2, x = 1 entsprechen 

 den Punkten £ , £ der Leitkurve mit vertikaler Tangente die auf 

 der Geraden y — t x — liegenden Spitzen der Integralkurven. Die 

 Spitzentangente ist die Gerade (y — y ) — z (x — x ) = 0. 



b. Legt man für große Werte von t eine Reihenentwickelung: 



50) z - z = «7 K * * + «, ^ f >■ + . . . 



;. ;. 



zu Grunde, so folgt hiermit für den entsprechenden, durch einen Punkt # d = 0, 

 y der y-Achse gehende Zweig der Integralkurve die Darstellung: 



; 1 — 



51) V — Vo = ^o * + ^ri • 0_« ■ ~H ' x ? " + • ■ • 



13. Die «/-Achse ergibt sich also als Zweig der Diskrimi- 

 nantenkurve, wenn die Leitkurve L im Unendlichen einen sin- 

 gulären Punkt mit z — z = als Tangente besitzt. 



Im einfachsten Fall * = 0, l = 2, y. = 1 ist die «/-Achse Ort 

 der Spitzen der Integralkurven mit horizontaler Tangente. 



c. Besitzt andererseits die Leitkurve L im Unendlichen einen singulären 

 Punkt mit t — t = als Tangente, so hat man im Bereich der Werte von 

 t — e bis ^ -\- e" eine Entwickelung : 



X y.-l 1_ 



52) z = g_ x (t - ty + g^ (t - Q~~+ • ■ • + ffo + 9i (ß ~ */ +•■■"' 



;. ;. ;. 



14. Auf der Geraden y — t x = liegen dann singulare Punkte der 

 Integralkurven vom Charakter der dort gültigen Entwickelung 



53) y-y = fcj^ • gjj* • ap ■ (* - atf* 5 + . . . 



deren Tangentenrichtung parallel der «/-Achse läuft. 



Einfachstes Beispiel ist hier x = 1, 7. = 2. Die Leitkurve hat 

 im Unendlichen einen Wendepunkt mit t — t = als Wendetangente. 

 Die Integralkurven haben auf der Geraden y — ^ x = Spitzen mit 

 vertikaler Tangente. 



