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Das Vorzeichen des Ausdruckes 



93) 4 («j b 2 — a 2 b x ) — (a 2 — bj 2 



entscheidet darüber, ob die Hyperbel die Gerade t — z = in zwei reellen 

 Punkten schneidet oder nicht, d. h. also, ob zwei reelle Gerade als Lösungen 

 der Differentialgleichung vorhanden sind oder nicht. Beachten wir noch 



die Formel 



dz _ a 1 b 1 — a 2 b 1 = fag + bj* 

 ' dt (b 2 t -\- a 2 ) 2 a l b 2 — a 2 i 1 ' 



so ergeben sich die Fälle : 



I. 4 (a, b 2 — a, &,) — (a 2 — b^f < 



«! b 2 — a 2 &! < 0. 



Die Hyperbel schneidet die Gerade t — z — so, daß die Tangente in beiden 

 Schnittpunkten innerhalb des Winkelraumes a (vgl. Fig. 7 Seite 12) liegt. 

 Die Integralkurven verlaufen daher gegen die beiden jenen Schnittpunkten 

 entsprechenden Geraden hyperbolisch. 



II. 4 («j b, — a, &,) — (a. 2 — ^f < 



ß, b 2 — öo b { > 0. 



Die Tangente im einen Schnittpunkt der Hyperbel mit der Geraden t — z = 

 liegt innerhalb des Winkelraumes ß, die des zweiten Schnittpunktes innerhalb 

 des Winkelraumes y (Fig. 7 S. 12). Die Integralkurven verlaufen also gegen 

 die eine der beiden Geraden parabolisch, gegen die andere elliptisch. 



III. 4 (a, b 2 — a 2 6,) — (a. 2 — b{f > 0. 



Es gibt keine reellen Geraden als Lösungen der Differentialgleichung, also 

 keine bestimmten reellen Richtungen, mit denen die Integralkurven in den 

 Nullpunkt beziehungsweise ins Unendliche verlaufen. Nullpunkt und unendlich 

 weite Gerade sind daher Grenzpunkt und Grenzgerade des Integralsystems. 

 Liegt der Mittelpunkt der Hyperbel auf der Geraden t — z— 0, was für 



a 2 — 6, = 



(Bedingung, daß (91) ein totales Differential ist), eintritt, so wird — ver- 

 gleiche die Ausführungen auf Seite 32 — 



dt 



L 



L 



- o, 



d. h. die Integralkurven sind geschlossen. Man erhält die den Nullpunkt 



umgebenden Ellipsen: 



95) ßjar -f- b 2 y- -4- 2 b x xy = c. 



