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Dabei ist, da hier die Integrale algebraisch werden, mit der Bedingung 

 a 2 — ö t = (abgesehen von den dort noch möglichen anderen algebraischen 

 Integralen) auch für die Fälle I und II ein Fall (durchs Unendliche) ge- 

 schlossener Integralkurven gegeben. 



Eine Verschiebung der Leitkurve parallel zur Geraden t ■ — 3=0 läßt 

 das Integral J ungeändert. Sie entspricht einer linearen Transformation der 



««/-Ebene 



x' = hx 



96) y = Jc(y — ex). 



"Wir können also, wenn wir die obige Hyperbel (92) parallel zur Geraden 

 t — 2 = so verschieben, daß der Mittelpunkt in den Koordinatenanfangs- 

 punkt zu liegen kommt, die Gleichung 



97) U + * = x > 



als Ausgangspunkt für die Entstehung der in III gegebenen Formen wählen. 

 Ihr entsprechen die ähnlichen Ellipsen 



y 1 *> 



y' -\- xar — c. 



Verschieben wir nun die Hyperbel in Richtung der 0-Achse um t, so 

 folgt aus 



98) ** + «<■+*— 

 für das Integral J: 



99) J-=l g-= f-^ = 



r J z — t V4x- 



t-= — CO 



Dem einmaligen Durchlaufen der Leitkurve, von t = — 00 bis t = -\- 00 

 entspricht in der xy- Ebene eine Drehung des Radiusvector r um n\ einem 

 zweimaligen Umlauf um die Hyperbel entspricht dann eine volle Umdrehung, 

 bei welcher der Ausgangspunkt der Integralkurve r vom Endpunkt r um 

 den Betrag 



100) r — r = r • (e V4 *- £S —1) 



entfernt ist. Aus dem System der Ellipsen entstehen also durch die Ver- 

 schiebung der Hyperbel um * < + 2 ]/x Spiralen, die rechts beziehungsweise 

 links um den Nullpunkt gewunden sind, je nachdem e 5 ist, d. h. je nach- 

 dem der Mittelpunkt der Hyperbel oberhalb beziehungsweise unterhalb der 

 Geraden t — s = liegt. Verschieben wir nun neuerdings die Hyperbel 

 parallel zur Geraden t — z — 0, so werden diese Spiralen der in (96) be- 

 zeichneten linearen Transformation unterworfen. 



5* 



dt 



71. 



