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Gehen wir auf die allgemeine Gleichung zurück, so ergeben 



sich also im Falle III rechts beziehungsweise links gewundene 



Spiralen, je nachdem 



a, 5 b\ 

 ist. 



Die Übergangsfälle 



zwischen I und II: a Y b 2 — a 2 b y = und 



zwischen II und III: 4 : (a l b 2 — a 2 b^) — (a 2 — &,) 2 . = 



sind in der /«-Ebene durch das Zerfallen der Hyperbel in eine parallel zur 

 /-Achse und eine parallel zur £-Achse verlaufende Gerade, beziehungsweise 

 dadurch bezeichnet, daß die Hyperbel die Gerade / — z = berührt. 



Im ersteren Falle bilden die Integralkurven ein System paralleler Geraden 

 von der Richtung z , während sich außerdem die Gerade y — t x = absondert. 



Im letzteren Falle vereinigen sich die beiden geradlinigen Integrale, 

 (welchen sich die übrigen Integralkurven elliptisch bezw. parabolisch nähern) 

 und werden dann imaginär. So bildet die (speziell für b 2 = gezeichnete) 

 Fig. 14 den Übergang zu den den Nullpunkt als Grenzpunkt umgebenden Spiralen. 



Für die weiteren Fälle b 2 = vergleiche Beispiel 1 des § 4. 



2. Wir geben, um noch in einem allgemeineren Falle den Gesamtverlauf 

 eines Systems von Integralkurven zu erörtern, kurz die Resultate der Dis- 

 kussion der Gleichung zweiten Grades 



(a x + b y) yy + {a Y x + l t y) -£_ + (a,x + b,y) = 0, 



die J. Weigel in seiner Eingangs zitierten Inauguraldissertation erhalten hat. 



Es handelt sich hier um Gestalt und Lage der rationalen Kurve dritter 

 Ordnung: 



101) b tz 2 -+-a / + b 1 t Z -^a l g-{- b,t + a, = 0, 



deren Doppelpunkt im Unendlichen auf der /-Achse liegt. Aus Realität und 

 gegenseitiger Lage der drei geradlinigen aus / = s folgenden Integrale ö, , 

 G 2 und G 3 und der beiden Geraden D v und D 2 der Diskriminantenkurve 



102) {a lX + h yf — 4 (a x + \y) (a 2 x + b 2 y) = 



ergeben sich acht Hauptfälle, welche zugleich, wenn man die Gleichung als 

 Näherungsgleichung auffaßt, die allgemeinen Typen für das Verhalten der 

 Integralkurven in der Umgebung eines Doppelpunktes der Diskriminanten- 

 kurve darstellen. Wir stellen sie mit den zugehörigen Kurven dritter Ordnung 

 im Folgenden zusammen. 



