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§ 7. Variation der Integralkurven bei Variation der Konstanten der 

 Differentialgleichung. Stabilität und Instabilität. 



Betrachten wir zunächst die Variationen der Leitkurve L einer homogenen 

 Differentialgleichung und die zugehörigen Variationen der Integralkurven im 

 allgemeinen. 



So lange wir uns im Innern eines Blattes der Fläche 



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befinden, haben stetige Änderungen des einem solchen Blatt entsprechenden 

 Zweiges der Leitkurve im allgemeinen auch stetige Änderungen der zuge- 

 hörigen Zweige der Integralkurven zur Folge. 



Liegen im Innern des Blattes geradlinige Integrale, den Schnittpunkten 

 der Leitkurve mit der Geraden t — z = entsprechend, so können sich beim 

 Zusammenrücken und Verschwinden je zweier solcher Geraden getrennte Züge 

 der Leitkurve vereinigen. Die dabei auftretenden Übergangsfiguren haben wir 

 im einfachsten Falle in § 6, Beispiel 1, in welchem überhaupt nur zwei gerad- 

 linige Integrale existieren, beschrieben. Fig. 14 bildet dort die Übergangsfigur 

 von den parabolisch verlaufenden Kurvenzügen des Falles 1, II zu den Spiralen 

 des Falles III. 



Beim Übergang von einem Blatt der Fläche /"(-, 2 = zu einem be- 

 nachbarten, der im allgemeinen in den Spitzen der Integralkurven erfolgt, 

 erfahren diese bei kleiner Variation der Leitkurve im allgemeinen nur kleine 

 Änderungen. 



Von den Ausnahmefällen haben wir schon den einen betrachtet: Zu- 

 sammenfallen eines geradlinigen Integrals mit einem Zweig der 

 Diskriminantenkurve, der auf die singulare Lösung erster Art 

 führt. Die Umformung der Integralkurven bei diesem Übergang ist in den 

 Figuren 10 — 12 (Seite 18) schematisch wiedergegeben. 1 ) 



J ) Es seien dazu noch die folgenden Formeln angemerkt, welche die Beziehung des Bogenelements da 

 der Leitkurve zum Bogenelement d s eines Zweiges einer zugehörigen Integralkurve ausdrücken. Man 

 hat hierfür: 



ds _ Vl-|-.e 2 



da 



/H^-l/i+d) 2 •(*-*) 



Nähert man sieh auf der Leitkurve L einem Schnittpunkt mit der Geraden t — z = 0, wo dann die 

 entsprechenden Zweige der Integralkurve in den Nullpunkt beziehungsweise ins Unendliche laufen, so 



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