Einleitung. 



Die Frage nach der Teilung einer Fläche durch ein System von Teilungs- 

 linien mit geringster Länge scheint bisher nicht eingehend erörtert worden zu 

 sein, wie naheliegend sie auch auf den ersten Blick ist. Das ist schon daraus 

 zu schließen, daß das wichtigste und überraschendste Ergebnis einer solchen 

 Erörterung so gut wie unbekannt ist, obwohl es in den elementarsten Teilen 

 der Geometrie seinen Platz finden könnte. Dieses Ergebnis geht dahin, daß 

 die bei der Lösung der Frage auftretenden Teilungslinien nur in Ausnahme- 

 fällen kürzeste Linien sind und daß beispielsweise die Halbierung eines ebenen 

 Dreiecks durch eine kürzeste Teilungslinie nicht mittels einer Geraden, sondern 

 mittels eines Kreisbogens bewirkt wird. Ich beschäftige mich mit den ein- 

 schlägigen Fragen seit etwa sieben Jahren, angeregt durch ein kartographisches 

 Problem, nämlich die Oberfläche der Erdkugel so in eine gegebene Anzahl 

 von Kartenblättern zu teilen, daß die Grenzlinien in ihrer Gesamtheit möglichst 

 kurz ausfallen. Erst später bin ich zur gleichen Fragestellung in der Ebene 

 und auf beliebige Flächen übergegangen. Das ganze Gebiet der Teilung mit 

 kürzesten Grenzen ist so ausgedehnt und im Einzelnen verwickelt, daß eine 

 Beschränkung bei der Behandlung dringend nötig ist. Ich habe sie darin 

 gesucht, daß ich vorerst charakteristische Beispiele behandelte und an ihnen 

 die Grundzüge einer allgemeinen Theorie klar zu machen suchte, ohne irgend- 

 wie die Forderung der Vollständigkeit der Aufzählung der möglichen Fälle 

 oder die Strenge der Beweisführung zu stellen. Auch wenn solche Forderungen 

 leichter zu erfüllen wären als im vorliegenden Falle, tut man gut die Trag- 

 weite der Fragestellung an Beispielen zu prüfen, ehe man an die Führung 

 von Existenzbeweisen und ähnliches geht. Wenn dabei mechanische Ana- 

 logien mehr als es bei dem rein geometrischen Charakter des Problems un- 

 bedingt nötig erscheint, herangezogen werden, so dürfte die Rechtfertigung 

 hiefür in dem damit erzielten Gewinn an Anschaulichkeit zu finden sein. Im 

 folgenden wird vielfach zwischen Teilungen mit kürzesten und solchen mit 



