allerkürzesten Grenzen unterschieden. Bei den ersteren ist der Vergleich nur 

 in Bezug auf die Nachbarteilungen, bei den letzteren unbeschränkt gezogen. Den 

 ersteren haftet mehr theoretisches, den letzteren mehr praktisches Interesse an. 



1. Zweiteilung des Dreiecks und anderer ebener Figuren. 



Um ein Dreieck in zwei Teile von gegebenem Verhältnis bei geringster 

 Länge der Teilungslinie zu teilen, denken wir uns die Teilungslinie durch 

 einen homogenen elastischen biegsamen Faden ersetzt, welcher zwei Punkte 

 des Umfanges miteinander verbindet. Die Enden des Fadens können auf dem 

 Umfang beliebig gleiten, was wir durch punktförmige Ösen, die keinen Rei- 

 bungswiderstand an dem aus dünnem Draht hergestellten Dreiecksumfang 

 finden sollen, bewirken wollen. Um nun durch diesen beweglichen Faden 

 den vorgegebenen Teilungsinhalt abzugrenzen, denken wir uns denselben mit 

 einer fast unzusammendrückbaren, elastischen Flüssigkeit von nur zwei Di- 

 mensionen gefüllt und diese solange vermehrt bis der vorgegebene Teilungs- 

 inhalt erreicht wird. Das ist nur unter Anwendung eines gewissen Flüssig- 

 keitsdruckes möglich, welcher sowohl zu einer elastischen Dehnung des teilenden 

 Fadens wie auch zu einer Durchbiegung desselben führt, wodurch schließlich 

 ein stabiler Gleichgewichtszustand erreicht wird, in dem der gespannte Faden 

 die gewünschte Fläche mit möglichst kurzer Länge abgrenzt. Aus den Eigen- 

 schaften dieses Gleichgewichtes können die geometrischen Bedingungen für 

 die Teilungslinie leicht entnommen werden. Ist p der Flüssigkeitsdruck auf 

 die Längeneinheit und S die Spannung des Fadens, so fordert das Gleich- 

 gewicht, daß an der beweglichen Teilungslinie überall k-S — p ist, wo k 

 die Krümmung der Teilungslinie bedeutet. Bezeichnet man nämlich mit ds 

 ein Linienelement dieser Linie, dem der Kontingenzwinkel dr zugehört, so 

 muß der im Gleichgewichtsfalle auf das Element senkrecht wirkende Druck 

 pds von der entgegengesetzt gerichteten Resultante Sdr der an den Enden 

 des Elements nach außen wirkenden Spannungen aufgehoben werden. Aus 

 der Gleichung pds= ScIt ergibt sich die obige Beziehung. Da p und S im 

 Verlaufe des Fadens sich gleich bleiben, muß ein Gleiches auch mit der 

 Krümmung k der Fall sein, woraus die Kreisform des Fadens folgt. Betrachten 

 wir schließlich das Gleichgewicht an den Ösen, mit denen die Fadenenden 

 an dem Dreiecksumfang aufsitzen, so ergibt sich, daß die letzte Fadentangente 

 rechtwinklig zum Dreiecksumfang sein muß, weil nur in diesem Falle die in 

 ihrer Richtung wirkende Spannung S keine Komponente in der Richtung des 

 Dreiecksumfanges hat (neben jener senkrecht dazu), die eine Verschiebung 

 des Fadenendes bewirken könnte. Hieraus ergibt sich der Satz: 



