Die kürzesten Zweiteilungslinien einer Dreiecksfläche 

 sind Kreisbogen, welche auf dem Dreiecksumfang senkrecht 

 aufsitzen, deren Mittelpunkt also entweder in einer Ecke 

 oder auf dem Umfang des Dreiecks liegt. 



Unter den möglichen kürzesten Teilungslinien eines Dreiecks ist die 

 allerkürzeste offenbar ein Kreisbogen, der die spitzeste Ecke des Dreiecks 

 zum Mittelpunkt hat und von ihr einen Sektor abschneidet, der dem kleineren 

 Teil der zu teilenden Dreiecksfläche inhaltsgleich ist. Ist das Dreieck gleich- 

 schenklig mit Basiswinkel kleiner als 60°, so gibt es zwei gleich lange sym- 

 metrisch gelegene allerkürzeste krumme Teilungslinien, aber niemals ist etwa 

 die Höhe zur Basis eine solche. Im gleichseitigen Dreieck endlich gibt es 

 drei symmetrische allerkürzeste Teilungslinien. Im Falle der Gleich teilung 

 wird jede von ihnen 0,676 der Seitenlänge, während die kürzeste gerade 

 Halbierungslinie parallel einer Seite 0,708 der Seitenlänge oder fast 5% länger 

 als die entsprechende krumme Halbierungslinie ist. 



Die kürzesten Zweiteilungslinien eines ebenen Bereichs vom Zusammen- 

 hang einer Kreisfläche werden durch die gleichen Schlüsse, die vorher für 

 das Dreieck ausgeführt wurden, als Kreisbogen erkannt, die mit beiden Enden 

 am Umfang des Bereiches senkrecht aufsitzen. Besonders einfach sind die 

 kürzesten Zweiteilunglinien der Kreisfläche selbst; sie werden von den im 

 Innern verlaufenden Bogen der Orthogonalkreise des Umfangs gebildet. Ihre 

 Anzahl ist oo 2 im Gegensatz zu den anders begrenzten Flächen, wo sie nur 

 oo : beträgt. Nur wenn dieser Umfang selbst kreisförmig ist oder aus kreis- 

 förmigen oder geradlinigen Stücken zusammengesetzt ist, gehen von einem 

 Punkte desselben unendlich viele solche Teillinien aus, die einem Kreisbüschel 

 mit zusammenfallenden Grundpunkten angehören. Wechselt jedoch die Krüm- 

 mung des Umfanges stetig, so geht von einem Punkt desselben nur eine end- 

 liche Zahl von kürzesten Zweiteilungslinien aus. Zum Beispiele bei einer 



Ellipse sind die in der Figur 1 dargestellten zur langen 

 Achse symmetrischen Kreisbogen solche Teilungslinien, 

 unter denen die allerkürzesten enthalten sind, während 

 eine andere Schar, die zur kurzen Achse symmetrisch 

 liegt, keine allerkürzesten enthält. Durch jeden Punkt 

 des Umfanges gehen hier zwei kürzeste Zweiteilungs- 

 linien, von welchen jene die allerkürzeste ist, die den 

 Scheitel am Ende der langen Achse mit ihrer hohlen 

 Seite einschließt. Es gibt keine Kreisbogen, welche mit den Enden senkrecht 

 auf dem Ellipsenbogen aufsitzen und keinen Scheitel in ihrer hohlen Seite 



