die nicht mehr ein und demselben, sondern zwei verschiedenen symmetrisch 

 zur Zentrale der Randkreise gelegenen gemeinsamen Orthogonalkreisen ange- 

 hören wie NO, PQ. Schließlich rücken diese so nahe zusammen, daß die 

 kleinere Fläche günstiger durch einen Orthogonalkreis des äußeren Randkreises 

 abgetrennt wird, der auch für noch extremere Flächenteilungsverhältnisse bis 

 zu 1 : co herab der günstigste bleibt. 



2. Die Dreiteilung des geradlinigen Dreiecks. 



Bei der Dreiteilung einer Figur können die drei Teile hintereinander 

 liegen, so daß der erste an den zweiten, der zweite an den dritten, dieser 

 aber nicht mehr an den ersten grenzt. Sie können aber auch so liegen, daß 

 jeder Teil an jeden andern grenzt und das ist insbesondere dann der Fall, 

 wenn ein gemeinsamer Grenzpunkt aller drei Teile vorhanden ist, an welchem 

 drei Teilungslinien zusammentreffen. Diesen letzteren Fall wollen wir für 

 das Dreieck ins Auge fassen und außerdem noch annehmen, daß die drei 

 Teilungslinien vom gemeinsamen Grenzpunkt P nach den drei verschiedenen 

 Seiten des Dreiecks hinlaufen. Um die Form der kürzesten Teilungslinien 

 für diesen Fall zu erhalten, denken wir uns folgendes Gedankenexperiment 

 ausgeführt (Fig. 3). Der Dreiecksumfang ABC sei wieder aus starrem Draht 

 hergestellt. Wir betrachten nun einen in sich geschlossenen, homogenen, 

 elastischen, reibungslosen Faden, der bei LMN um die drei Dreiecksseiten 

 geschlungen ist und in der Mitte bei P dreimal durch 

 eine kleine Öse geht, wie das in der Figur 3 ange- 

 deutet ist. Nun füllt man die drei entstandenen Felder 

 mit der zweidimensialen fast unzusammendrückbaren ^ p. I£ n, 



Flüssigkeit, so daß jedes Feld, das seinem Teilungs-"* jv 



Verhältnis entsprechende Quantum erhält, was durch Dreiteilung des Dreiecks. 

 Regulierung des Druckes in den drei Feldern ermöglicht wird. Stellt sich 

 hiebei ein elastischer Gleichgewichtszustand ein, bei welchem die benachbarten 

 Felder durch je einen Doppelfaden gegeneinander abgegrenzt sind, so ent- 

 spricht dieser einer Flächenteilung mit kürzesten Teilungslinien, da offenbar 

 der Faden die doppelte Länge der Teilungslinien annimmt und infolge der 

 Spannung bestrebt ist, sich soweit zu verkürzen als es unter den obwaltenden 

 Umständen, d. h. bei Einhaltung der vorgeschriebenen Größen der abzugren- 

 zenden Flächenräume, die durch die eingeschlossenen Flüssigkeitsmengen ge- 

 geben sind, möglich ist. 



Aus den mechanischen Bedingungen des Gleichgewichts lassen sich auch 

 hier die geometrischen für die Dreiteilung mit kürzesten Grenzen ermitteln. 



