Durch Addition folgt: - — \- — = — , was der Beziehung: k 32 -\- k i3 = k l2 



^"32 **13 **12 



oder: k 12 -\- k 23 -f- k 3l = entspricht. Läge unter Voraussetzung von: 

 k 12 -f- k 2S + k 31 = der Punkt 3I 2 mit M 1 und M 3 nicht auf einer Geraden, 

 sondern ein Punkt M' auf der durch den Winkel von 60° schon bestimmten 

 Linie PILZ"', so würde auch für ihn die soeben abgeleitete Beziehung gelten und 

 dann P3I' den Wert r 32 annehmen, der aus ihr folgt. 31' muß also mit M 2 

 zusammenfallen, sobald die Beziehung besteht. 



Nachdem wir gesehen haben, daß die drei Kreismittelpunkte der Teilungs- 

 linien, die auf den Dreiecksseiten liegen, außerdem in einer Geraden liegen, 

 können wir folgendes Verfahren zur Auffindung einer kürzesten 

 Dreiteilung eines Dreiecks (mit noch unbekanntem Teilungsverhältnis) 

 angeben : 



Man zieht eine beliebige Transversale durch das Dreieck 

 und bezeichnet die Schnittpunkte mit den Seiten mit M l M 2 M 3 . 

 Man sucht jetzt durch Rückwärtseinschneiden einen Punkt P 

 so, daß die drei Geraden, die von Pnach M x , M 2 u nd M 3 gehen, 

 ein Büschel mit 60° Win ekel zwischen je zwei Geraden bilden, 

 was auf doppelte Art möglich ist. Der so bestimmte Punkt P 

 kann nun gemeinsamer Grenzpunkt einer Dreiteilung sein, 

 falls er im Innern des Dreiecks liegt und die drei Kreisbogen 

 mit den Mittelpunkten M x M 2 M 3 , die von ihm unter 120° Nei- 

 gung gegeneinander ausgehen, im Innern des Dreiecks ver- 

 laufen, bis sie die zugehörige Dreiecksseite senkrecht treffen. 



Oder : Man wählt den gemeinsamen Grenzpunkt P im Innern 

 des Dreiecks und dreht um ihn ein Büschel von drei unter 60° 

 geneigten Geraden so lange bis ihre Schnittpunkte M x 3I 2 M 3 

 mit den Dreiecksseiten aufeinerGeraden liegen. Diese Schnitt- 

 punkte sind dann Mittelpunkte der von P ausgehenden kreis- 

 förmigen Teilungslinien. Eine wirkliche Dreiteilung des 

 Dreiecks mit kürzesten Grenzen kommt aber auch hier wieder 

 erst dann zustande, wenn die Kreisbogen von P bis zu ihrem 

 senkrechten Aufsitzen auf der zugehörigen Dreiecksseite 

 ganz im Innern des Dreiecks verlaufen. 



Ist letztere Bedingung nicht erfüllbar, so gibt es mit dem gegebenen 

 Teilungspunkt keine kürzeste Teilung, deren Grenzen auf den drei verschie- 

 denen Dreiecksseiten aufsitzen. Wohl aber kann eine solche Teilung von P 

 aus so vor sich gehen, daß zwei Teilbögen auf der gleichen Dreiecksseite 



Abh. d. math.-phya. Kl. XXVIII, 7. Abb. 2 



