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aufsitzen und der dritte auf einer der beiden andern, wobei dann einer der 

 Bogenmittelpunkte in eine Ecke und die beiden andern auf eine ausstoßende 

 Seite fallen (Fig. 5). Ja es ist auch der Fall möglich, daß die drei von P 

 ausgehenden Kreisbogen ihre Mittelpunkte auf der gleichen Dreiecksseite haben, 

 auf der sie auch senkrecht aufsitzen. Zu einem solchen Grenzpunkt, der in 

 der Nähe einer Seite, aber fern von deren Ecken gelegen sein muß, sind 

 dann unendlich viele kürzeste Teilungen (mit verschiedenem Verhältnis der 

 abzuteilenden Flächen) möglich (Fig. 6). 



Fig. 5. 



Fig. 6. 



Dreiecksteilung. 

 Zwei Kreise senkrecht zu einer Seite. 



M, M Z M, 

 Dreiecksteilung. 

 Drei Kreise senkrecht zu einer Seite. 



Eine ganz merkwürdige Ausnahmestellung bei der Dreiteilung mit kür- 

 zesten Grenzen genießt das gleichseitige Dreieck. Hier läßt nicht nur 

 jeder Punkt im Innern als gemeinsamer Grenzpunkt eine kürzeste Dreiteilung, 

 deren Grenzlinien nach den drei verschiedenen Dreiecksseiten laufen, zu, es 

 sind auch noch diese Grenzlinien stets gerade, aber nicht jedes vorgeschriebene 

 Teilverhältnis kann durch solche gerade Grenzlinien erzielt werden. Man 

 kann offenbar nicht zwei von den drei Teilstücken beliebig klein gegen das 

 dritte machen. Für solche Teilverhältnisse treten dann die in Figur 5 und 6 

 gekennzeichneten Teilungsarten ein. 



Die Beantwortung der Frage nach der allerkürzesten Dreiteilung 

 eines Dreiecks in gegebenem Verhältnis ist nach dem Vorausgehenden 

 augenscheinlich sehr verwickelt. Man muß nicht nur für die zahlreichen 

 möglichen Klassen der Dreiteilung untersuchen, ob einer oder mehrere Fälle 

 mit dem gegebenen Teilverhältnis darunter sind, man muß auch für jeden 

 solchen Fall die Grenzlänge bestimmen und den mit der kürzesten daraus 

 aussuchen. Die Aussonderung eines Falles von gegebenem Teilungsverhältnis 

 aus einer Klasse erfordert die Lösung von zwei transzendenten Gleichungen mit 

 zwei Unbekannten (den Koordinaten des Grenzpunktes), welche ausdrücken, 

 daß zwei von den drei Feldern gegebene Flächeninhalte haben. 



Um doch einiges Material zur Frage nach der allerkürzesten Dreiteilung 

 eines Dreiecks beizubringen, habe ich einige Fälle der Gleichteilung unter- 

 sucht, und zwar solche, bei welchen die allerkürzeste Teilung von einer Klasse 



