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zur andern übergeht. In solchen Übergangs fällen gibt es zwei gleiche aller- 

 kürzeste Teilungen verschiedener Klassen. Wählen wir der Einfachheit halber 

 das Dreieck gleichschenklig mit einem kleinen Winkel an der Spitze, so ist 

 die allerkürzeste Teilung in drei gleiche Teile durch zwei konzentrische, um 

 die Spitze als Mittelpunkt geschlagene Kreisbogen gegeben, welche ein Drittel 

 bzw. zwei Drittel der Dreiecksfläche abgrenzen. Wächst der kleine Winkel 

 an der Spitze bis 28°, so tritt eine symmetrische Dreiteilung mit einem ge- 

 meinsamen Grenzpunkt auf der Winkelhalbierenden in Konkurrenz und beiderlei 

 Dreiteilungen haben dann die gleiche Länge der Teilungslinien = 0,668 der 

 Schenkellänge (Fig. 7). Geht man umgekehrt von einem gleichschenkligen 

 Dreieck mit ganz stumpfen Winkel an der Spitze aus, so wird dessen aller- 

 kürzeste Dreiteilung durch zwei Kreisbogen bewirkt, die ihre Mittelpunkte an 

 den Enden der Basis haben. Verringert sich der stumpfe Winkel auf 105°, 

 so gibt es wieder eine gleichlange Dreiteilung mit gemeinsamem Grenzpunkt 

 auf der Winkelhalbierungslinie; in beiden Fällen ist die Länge der Teilungs- 

 linie 0,920 der Schenkellänge (Fig. 8). 



Fig. 7. 



Fig. 8. 



Übergang zweier kürzester Dreiteilungen 



beim spitzwinklig - gleichschenkligem 



Dreieck. 



Radius der ausgezogenen Teilung 0,591. 



Übergang zweier kürzester Dreiteilungen beim stumpfwinklig 



gleichschenkligen Dreieck. 



Radius der ausgezogenen Teilung 1,030. 



3. Die Dreiteilung des ebenen Kreisbogendreiecks. 



Unterwirft man die Figur eines mit kürzesten Grenzen geteilten gerad- 

 linigen Dreiecks einer Inversion (Transformation mittels reziproker Radien), 

 so entsteht aus dem Dreieck ein besonderes Kreisbogendreieck. Die wesent- 

 lichen geometrischen Eigenschaften der Teilungslinien, wie: Gleichheit der 

 Krümmung innerhalb einer Teilstrecke, rechtwinkliges Aufsitzen auf dem 

 Rande der zu teilenden Fläche, Gabelung der Teillinien an einem gemein- 

 samen Grenzpunkt unter 120° und die Zugehörigkeit der sich gabelnden 

 Teilungslinien zu einem Kreisbüschel bleiben sämtlich erhalten, so daß die 

 transformierten Teilungslinien des geradlinigen Dreiecks ein System von kür- 

 zesten Teilungslinien des transformierten Kreisbogendreiecks bilden. Verändert 



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