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wird allerdings das Teilungsverhältnis und die Drucke p l p 2 p 3 , die den ein- 

 zelnen Feldern zuzuweisen sind, desgleichen auch die Radien der teilenden 

 Kreisbögen, nicht aber die Eigenschaft, daß die Summe der Krümmungen der 

 im gemeinsamen Grenzpunkt zusammenlaufenden Bögen gleich Null ist, da 

 diese eine Folge der bei der Inversion invariant bleibenden Büscheleigenschaft 

 ist. Die Eigenschaft einer Dreiteilung allerkürzeste zu sein bleibt bei der 

 Inversion im allgemeinen nicht erhalten. 



Es liege nun ein allgemeines Kreisbogendreieck vor, das von 

 einem gemeinsamen Grenzpunkt P aus durch kürzeste Teilungslinien nach 

 einem erst hinterher sich ergebenden Flächenverhältnis geteilt werden soll, 

 so besteht die Aufgabe darin, ein passendes Büschel aus drei unter 120° sich 

 schneidenden Kreisen um den Punkt P so zu drehen, daß die Kreise des 

 Büschels senkrecht auf dem Umfang des Kreisbogendreiecks aufsitzen. Diese 

 Aufgabe kann auf doppelte Weise gelöst werden: 



1. durch Zurückführung auf die entsprechende Aufgabe für ein ebenes 

 Dreieck. Jeder Kreis, der durch P geht und eine Seite des Kreisbogendrei- 

 ecks senkrecht schneidet, geht auch durch einen Punkt P', dessen Verbindungs- 

 linie mit P durch den Kreismittelpunkt 31' der Dreiecksseite geht und wobei 

 31' P • 31' P' = r\ (r 1 Radius der Dreiecksseite) ist. Der Mittelpunkt jedes 

 solchen Orthogonalkreises liegt auf der Mittelsenkrechten zu PP'. Für jede 

 Seite des Kreisbogendreiecks erhalten wir so eine Mittelsenkrechte, auf welcher 

 der Mittelpunkt eines Teilungskreisbogens gelegen sein muß. Da die Mittel- 

 punkte der drei Teilungsbögen einer Geraden angehören und mit P verbunden 

 drei Radien unter 60° liefern müssen, so braucht man nur um P ein Büschel 

 von drei unter 60° geneigten Strahlen so lange zu drehen, bis deren Schnitt- 

 punkte mit den drei Mittelsenkrechten auf eine Gerade zu liegen kommen. 

 Diese Schnittpunkte sind die Mittelpunkte der Teilkreisbögen, die allerdings 

 nur dann eine brauchbare Lösung der Teilungsaufgabe liefern, wenn sie inner- 

 halb des zu teilenden Kreisbogendreiecks verlaufen. 



2. Durch Inversion. Man wählt P als Inversionszentrum, wodurch die 

 zu suchenden Teilungslinien in Gerade übergehen, die auf den invertierten 

 Kreisbogendreieckseiten senkrecht stehen, also durch deren Mittelpunkte gehen 

 müssen. Man schneidet nach diesen drei Mittelpunkten einen Punkt P' 

 mittels dreier unter 120° geneigter Linien rückwärts ein und transformiert 

 diese drei Linien zurück, welche dann Kreise durch das Inversionszentrum P 

 von der gewünschten Eigenschaft der Teilungskreise geben. 



Bemerkung: Die Methode der Inversion gibt auch eine Möglichkeit die 

 kürzeste Dreiteilung einer beliebig begrenzten ebenen Figur 



