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von solchen herumschlingt, eine Bedingung des Zusammenfallens zweier Eck- 

 punkte auf der gleichen Teilungslinie zu erfüllen ist, was unter Umständen die 

 Vermehrung der Eckenzahl der letzten Masche des Kranzes erfordert. Hat 

 man so ein Teilungsliniennetz von beliebiger Ausdehnung gefunden, so sind an 

 den freien Ecken der äußeren Netzmaschen die Fortsetzungen immer mitbe- 

 stimmt und man kann, um zu einem Abschluß zu gelangen, schließlich einen 

 Bereich annehmen, dessen Umfang sämtliche Fortsetzungen senkrecht durch- 

 schneidet. Für diesen Bereich ist dann das Netz ein Teilungsliniennetz von 

 kürzester Länge bei dem Flächenteilungsverhältnis, das seine Maschen abgrenzen. 



Da die Winkel einer Masche stets genau 120° sind, so wird eine Masche 

 „im Durchschnitt" nach außen konvexe Seiten haben, wenn die Eckenzahl 

 kleiner als sechs ist und konkave, wenn sie größer als sechs ist. Für sechs- 

 eckige Maschen können alle Seiten geradlinig sein und ein sehr einfaches 

 Teilungsnetz ergibt sich aus geraden Seiten, die zu drei um 60° verschiedenen 

 Richtungen parallel sind und sonst beliebig gestaltete Sechsecke bilden, welche 

 zu dreien um eine Ecke herum liegen. In allen Maschen eines solchen Netzes 

 ist der Druck derselbe. Als Umfang eines zu teilenden Bereiches, zu dem 

 ein solches Teilungsnetz gehört, kann ein geradliniges Vieleck genommen 

 werden, dessen Seiten senkrecht auf den drei ausgezeichneten Richtungen 

 stehen (Fig. 11). 



Es gibt indessen auch noch eine andere Möglichkeit ein Teilliniennetz 

 zum Abschluß zu bringen. Es können sich die freien Enden, welche von 

 den Ecken der Maschen ausgehen, so zusammenschließen, daß sie keine Ecken 

 mehr bilden, und daß demnach auch keine Ansätze für neue Maschen mehr 

 auftreten. Ein Beispiel dieser Art bietet die Figur 12. 



Fig. 11. Fig. 12. 



Kürzeste Teilung mittels gerader Teilungslinien. Freies ebenes Schaumgebilde. 



Hier haben wir eine Anzahl von Zellen mit gegebenem Inhalt, welche 

 unter sich und nach außen so abgegrenzt sind, daß die Summe der Grenz- 

 linien möglichst klein wird. Diese Figuren lassen noch eine andere physi- 

 kalische Deutung zu, welche sich dann auf die früher behandelten, randlich 

 begrenzten Teilungsfiguren übertragen läßt. Man denke an die Schaum- 



Abh. d. math.-phys. Kl. XXVIII, 7. Abb. 3 



