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gehören. Die symmetrische Anordnung, wonach beide Grenzbögen gleich groß 

 sind, ist nicht notwendig; es muß nur ihre Summe dieselbe sein. Es können 

 also die Außenzellen ohne Änderung der Grenzlänge um das Zentrum der 

 Mittelzelle rotieren. Wenn dabei ein Grenzbogen der Mittelzelle verschwindet 

 und zwei von den vier Ecken zusammenstoßen, so fließen von den dort zu- 

 sammentreffenden vier Teilungslinien die beiden äußeren sich berührenden zu 

 einer inneren Scheidelinie zusammen und es entsteht die stabilere Form des 

 Dreizells, bei dem die Zellen um einen gemeinsamen Punkt herum angeordnet 

 sind (Fig. 14 c). 



Beim Vierzeil (Fig. 14/° und g) ist die Anordnung um einen Punkt 

 herum ebenfalls die stabilere, obwohl da wieder vier Bereiche zusammen- 

 stoßen. Die weniger stabile Form (Fig. 14/"), bei der drei äußere Zellen um 

 eine mittlere in indifferentem Gleichgewicht gelagert sind, hat allerdings nur 

 unbedeutend längere Grenzen (11,83 gegen 11,34). 



Beim Fünfzeil liegt die Sache bereits umgekehrt. Hier ist die Anord- 

 nung mit einer quadratischen Mittelzelle günstiger (Fig. 14(7). Allerdings 

 sind hier die vier Außenzellen nicht mehr verschiebbar angelagert, wie die 

 drei Außenzellen des instabilen Vierzells. Immerhin ist der Unterschied in 

 der Grenzlänge gegenüber der Anordnung von fünf Zellen um einen Punkt 

 herum sehr gering (13,75 gegen 13,89, Fig. 14Ä). 



Erheblicher ist dieser Unterschied bei den ähnlichen Anordnungen des 

 Sechszells (15,80 gegen 16,60, Fig. 14« und k). Beim Siebenzell 

 (Fig. 14 l, m, vi) tritt wieder der Fall ein, daß bei der günstigeren Anord- 

 nung (l) mit einem Sechseck in der Mitte dieses geradlinig und der Druck 

 in allen Zellen gleich groß sein wird. Hier ist außerdem bereits eine dritte 

 Anordnung (m) möglich, die bei den Schaumgebilden mit geringerer Zellzahl 

 fehlte, nämlich die ringförmige mit einem siebeneckigen leeren Zwischenraum 

 in der Mitte. Diese ist sogar ein klein wenig günstiger als die sternförmige 

 (n), bei der sieben Zellen um einen Punkt herum liegen. Die Grenzlängen 

 sind der Reihe nach: 17,98, 19,38, 19,44. Beim Achtzell (Fig. 14 o, p 

 und q) liegen die Verhältnisse noch ebenso, nur wird bei der günstigsten 

 Anordnung das mittlere Siebeneck bereits schwach eingezogen sein. Die Grenz- 

 längen betragen hier: 19,88, 22,18, 22,40. 



Bei der Steigerung der Zellzahl treten bald neue Anordnungen in Wett- 

 bewerb, deren Auswertung immer schwieriger wird, wie sich auch heraus- 

 stellt, daß die Ermittlung eines freien Schaumgebildes bei gleicher Zellenzahl 

 meist umständlicher ist, als jene eines solchen, wie es bei der Kreisflächen- 

 teilung auftritt. 



Abh. d. math.-phys. Kl. XXVIII, 7. Abb.. 4 



