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7. Teilung von krummen Flächen. 



Die mechanische Analogie, welche zur Aufstellung der Gesetze für die 

 Teilung mit kürzesten Grenzen ebener Flächenstücke führte, bewährt sich 

 nach bei der gleichen Aufgabe für krumme Flächen. Wir brauchen uns nur 

 die krumme Fläche als unendlich dünnen Zwischenraum von gleicher Breite 

 zwischen zwei starren krummen Wänden von entsprechender Form vergegen- 

 ständlicht zu denken. Diesen Zwischenraum begrenzen wir am Rande durch 

 einen starren Draht und unterteilen ihn mittels eines in sich geschlossenen 

 elastischen Fadens, der an den Grenzen überall doppelt liegt, am Rande über 

 den Draht gezogen ist, so daß er dort frei gleiten kann und der an den Eck- 

 punkten der Teilung durch Ringe zusammengehalten wird (Vgl. Fig. 9 Seite 14). 

 Solche Ringe dienen auch zur Wiederzusammenfügung an den Schnitten, die 

 an dem Teilungsliniennetz anzubringen sind, um es in ein solches zu ver- 

 wandeln, in dem jeder Punkt von jedem aus nur auf einerlei Weg zu er- 

 reichen ist. Wie früher denken wir uns die Maschen zwischen den Fäden mit 

 fast unzusammendrückbarer Flüssigkeit erfüllt, welche den abzugrenzenden In- 

 halt darstellt und beobachten das Gleichgewicht, das sich unter der Spannung 

 des Fadens einstellt, wobei die Flüssigkeit in den einzelnen Maschen unter ver- 

 schiedenen Druck gerät. Aus der überall konstanten Spannung des Doppel- 

 fadens und aus der längs der Grenze zweier Maschen konstanten Druck- 

 differenz ergibt sich alsdann die Konstanz der geodätischen Krümmung 

 jedes Grenzlinienstückes zwischen zwei Grenzpunkten. Daß hier die geodä- 

 tische Krümmung der Grenzlinie maßgebend ist, folgt daraus, daß alle Re- 

 aktionen von Flüssigkeit und Fadenspannung senkrecht zur jeweiligen 

 Tangentialebene an die Fläche von den beiderseitigen starren Wänden des 

 Zwischenraumes aufgenommen werden und nur das Kräftespiel in der Tan- 

 gentialebene in Frage kommt. Dieses führt zu dem Schluße, daß die unter 

 dem Kontingenzwinkel der geodätischen Krümmung gegeneinander geneigten 

 Fadenspannungen an den Enden eines Grenzlinienelementes, mit dem auf das 

 Element treffenden Teil der Druckdifferenz, das Gleichgewicht halten müssen ; 

 was die Gleichung S-k mn = p m — p n zur Folge hat. Dabei ist S die Spannung 

 des Doppelfadens, k mH die geodätische Krümmung und p m — p n der Druckunter- 

 schied beiderseits der Grenzlinie. An den Grenzpunkten müssen sich die drei 

 (im Ausnahmefall auch mehr) gleichen Spannungen der durch den kleinen 

 Ring gezogenen Doppelfäden das Gleichgewicht halten, was zur Gleichheit 

 der Winkel, unter denen die Fäden vom Ring auslaufen, führt. Der Unter- 

 schied der Drucke in den drei Winkelräumen ändert an dieser Tatsache des- 

 halb nichts, weil der Druck senkrecht zu den Fäden wirkt und daher nur deren 



