27 



Krümmung nicht aber deren Spannung beeinflussen kann. An den Stellen, 

 wo der Grenzfaden um den Rand des zu teilenden Gebietes geschlungen ist, 

 fordert auch hier das Gleichgewicht ein senkrechtes Aufsitzen der Grenze auf 

 jenen Rand. Die Druckunterschiede der in einem Maschenknotenpunkte zu- 

 sammenstoßenden drei Felder kommen in den Krümmungen der drei sich 

 dort gabelnden Grenzlinienstücke zum Ausdruck und da die algebraische 

 Summe jener drei Druckunterschiede Null ist, so folgt dies auch 

 für die Summe der geodätischen Krümmungen der drei in einem 

 Grenzpunkt sich gabelnden Teilungslinienstücke. Die Krümmungs- 

 kreise der auf die Tangentialebene im Grenzpunkt projizierten Teilungslinien 

 bilden dann ein Kreisbüschel (vgl. S. 8). 



Die Anwendung dieser Gesetze zur Aufstellung von Flächenteilungen mit 

 kürzesten Grenzen gelingt natürlich am leichtesten bei solchen Flächen , auf 

 welchen die Linien konstanter geodätischer Krümmung allgemein angegeben 

 werden können und das sind vor allem die Flächen konstanter Gaußscher 

 Krümmung. Diese lassen sich konform so in die Ebene abbilden, daß die 

 Linien konstanter geodätischer Krümmung in Kreise übergehen. Ein Teilungs- 

 netz mit kürzesten Grenzen geht daher bei dieser Abbildung in ein Kreisbogen- 

 netz der Ebene über, wobei die Winkelbedingungen an den Eckpunkten und 

 Randpunkten wegen der Konformität erfüllt bleiben. Besonders einfach liegen 

 die Verhältnisse bei den auf die Kugel abwickelbaren Flächen konstanter 

 positiver Krümmung und speziell bei der Kugel selbst, bei welcher die stereo- 

 graphische Projektion die Abbildung der Linien konstanter geodätischer Krüm- 

 mung in Kreise der Ebene besorgt. Hier läßt sich auch ganz elementar 

 zeigen, daß die Krümmungsbedingung für die drei von einer Ecke ausgehen- 

 den Teilungslinien bei dieser Abbildung erhalten bleibt. Zuerst bemerken 

 Fig. 15. wir, daß bei der stereographischen Projektion einem Kreis- 



büschel in der Ebene ein solches auf der Kugel entspricht 



und umgekehrt. Sodann erinnern wir uns daran, daß die 

 3»--' '<*. z\ -:v ° 



*% i f Krümmungsbedingung stets erfüllt ist für drei Kreise eines 

 ■--j/.—Ä.-kj ebenen Büschels, die sich unter 120° schneiden (S. 8). Be- 

 Krümnmngsbedingung trachten wir nun drei Kreise eines Büschels auf der Kugel 

 bei der Kugelteilung. ( Fig 15 ^ die gich in p unter 12( )0 schneiden und ihre Mittel- 

 punkte M u M 2 . M 3 auf einem größten Kreise haben. Ihre Radien bilden Winkel 

 von 60° miteinander. 



Aus den rechtwinkligen Dreiecken, die durch Fällen des Lotes von P 

 auf Mj M 2 entstehen, folgt: 



tg h = tg r 12 cos x = tg r ls cos (60° -\- x) 



tg h = tg r 12 cos x = tg r 32 cos (60° — x) 4* 



