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cos(60° + a;) 1— V3~tgx 



oder: ctg r 13 = - — — — ctg r„ = - -y-S- ctg r M , 



cos(60° + ;r) l+"|/3tga; 



Ctg rs2 = " cos g Ctg r ' 2 = ~ 2 Ctg r ' 2 ' 



Hieraus: ctg r is -f- ctg r 3 . 2 = ctg r 12 . 



Nun ist die geodätische Krümmung eines Kreises auf der Kugel gleich 

 dem Produkt aus dem reziproken Kugelradius in die Kotangente des sphä- 

 rischen Kreisradius, wobei noch, je nach den zugewiesenen Umlaufsinn, das 

 Vorzeichen zu wählen ist. Dividieren wir daher die letzte Gleichung mit 

 dem Kugelradius und berücksichtigen wir das Vorzeichen, so folgt aus ihr: 

 Jc is -\- k 32 = &12 oder : k i2 -\- fc 23 + k sl = , wo die k die geodätischen Krüm- 

 mungen der drei in P zusammenstoßenden Feldergrenzen bedeuten. Damit 

 ist bewiesen, daß auch auf der Kugel drei unter 120° sich schneidende Kreise 

 eines Büschels die Krümmungsbedingung erfüllen und mithin diese Bedingung 

 bei der stereographischen Projektion von Ebene und Kugel ebenso erhalten 

 bleibt, wie wir früher sahen, daß sie gegenüber der ebenen Inversion in- 

 variant ist. 



Hieraus folgt der Satz: Wird ein ebenes oder sphärisches Tei- 

 lungsnetz mit kürzesten Grenzen durch Inversion transformiert? 

 so geht es stets in ein neues ebenes oder sphärisches Teilungs- 

 netz mit kürzesten Grenzen über. 



8. Die Gleichteilung der Kugel. 



Durch den Satz am Schlüsse des vorigen Abschnittes sind ebene und 

 sphärische Teilungsnetze aufs engste mit einander verbunden. Freilich bleibt 

 bei der Inversion nur die Eigenschaft einer Figur ein Netz kürzester Teilung 

 zu sein erhalten, dagegen ändert sich das Teilungsverhältnis. Wenn wir daher 

 jetzt zur Gleichteilung der ganzen Kugel fläche übergehen, so stehen 

 wir vor einer besonderen Aufgabe, die sich nicht durch Inversion auf ein 

 schon gelöstes Problem der ebenen Teilung zurückführen läßt. Die Inversion 

 jeder Teilung der ganzen Kugelfläche, die überhaupt eine ebene Teilung liefert, 

 gibt Anlaß zu einem ebenen freien Schaumgebilde, dessen Zelleninhalte aber 

 in keinem einfachen Zusammenhang mit jenen der sphärischen Einteilung 

 stehen. Bei der Aufsuchung von Kugelteilungen entfällt eine Bequemlichkeit, 

 die wenigstens die näherungsweise graphische Bestimmung der ebenen Flächen- 

 teilung erheblich erleichterte. Das ist der Gebrauch des Polarplanimeters. 

 Man sieht sich infolgedessen hier stets zur Rechnung genötigt, wodurch in 



