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der Kugel einbeschriebenen Würfels so verbinden, wie es dessen Kanten tun. 

 Die Länge der sphärischen Würfelkante beträgt : 70°,53. Die gesamte Teilungs- 

 länge beläuft sich auf 8 4 6°, 3 6. In den sechs kongruenten Feldern ist der 

 Druck natürlich gleich. 



Für die Siebenteilung (Fig. 16 d) der Kugel kommt die bei der Fünf- 

 teilung besprochene Anordnung in Betracht mit n = 5. Es treten zwei gegen- 

 überliegende Kreisbogenfünfecke mit eingezogenen Seiten auf, zwischen welche 

 sich eine Zone von Vierecken lagert. Die Rechnung nach der vorigen Formel 

 ergibt ß = 26°,805, a = 80°,798, h = 49°,23. Die ganze Teilungslänge wird 

 936°,9, der Überdruck in den fünf Vierecken gegenüber den beiden Fünfecken: 

 ctg a= 0,1709. 



Ein besonderes Interesse verdient die Achtteilung der Kugel, die 

 mancherlei Überraschungen brachte. Eine sehr naheliegende Möglichkeit ist 

 die durch drei Großkreise, deren Ebenen senkrecht zu einander sind und die 

 Oktaedereinteilung in acht gleichseitig rechtwinklige Dreiecke ergeben. Die 

 Länge der Teilungslinien ist 1080°, Überdruck ist nirgends vorhanden. An 

 den acht Ecken tritt aber der Ausnahmefall ein, daß dort jeweils vier Felder 

 mit Winkeln von 90° zusammenstoßen, statt drei mit Winkeln von 120°. 

 Dieser Umstand legt es nahe zu untersuchen, ob mit dieser Einteilung schon 

 das Mindestmaß der Grenzlänge erreicht ist. Gehen wir von der früheren 

 Tetraedereinteilung aus und legen wir über die vier Ecken derselben gleich- 

 seitige dreieckige Felder mit Winkeln von 120°, welche den achten Teil der 

 Kugelfläche einnehmen und ihre Ecken auf den Tetraederteilungslinien haben, 

 so bleiben von den Feldern der Tetraedereinteilung sechseckige Reste, mit 

 abwechselnd längeren eingezogenen und kürzeren geradlinigen Seiten übrig, 

 wodurch eine normale Kugelteilung in vier Dreiecke und vier Sechsecke mit 

 zwölf Knotenpunkten entsteht (Fig. 16 h). Für die Dreiecke ergibt sich nach 

 einer ähnlichen Formel, wie die voranstehende, bei der nur die rechte Seite 

 geändert ist, ß = 44°,456, a = 70°,28, b = 49°, 5 8, woraus der Dreiecksumfang 

 zu 251°,094 und die Länge der geodätischen Sechseckseiten zu 10°,318 folgt. 

 Dies ganze Teilungsnetz mißt 1066°,29, ist also um l,3°/o kürzer als das Okta- 

 edernetz. Der Überdruck in den Dreiecken ist: ctg a = 0,3584, also ganz 

 erheblich. 



Es gibt aber andere Möglichkeiten, die noch günstiger sind. Man stellt 

 zwei gleichseitige Kreisbogendreiecke der vorigen Art einander so gegenüber, 

 daß die Verbindungsgeraden der Ecken durch den Kugelmittelpunkt gehen 

 und teilt den zonenförmigen Rest der Kugeloberfiäche in sechs kongruente 

 und symmetrische Fünfecke von folgender Eigenschaft (Fig. 16 g). Eine 



