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krumme Seite fällt mit einer Dreiecksseite zusammen, die übrigen sind geo- 

 dätisch und schließen mit ihnen und unter sich Winkel von 120° ein. So 

 entsteht ein kürzestes Teilungsnetz mit zwei dreieckigen und sechs fünfeckigen 

 Feldern, zwölf Knoten, sechs krummen und zwölf geodätischen Grenzlinien. 

 In den Dreiecken herrscht der gleiche Überdruck, wie bei der vorigen Acht- 

 teilung, in den Fünfecken ist kein Überdruck. Die kurzen Fünfeckseiten 

 messen 20°,95, die langen 70°,53, das ganze Netz 1 05 1°,1. Es ist also günstiger 

 als das vorhergehende. 



Wir haben indessen noch die Anordnung (Fig. 16 f) zu untersuchen, 

 welche der letzten Formel für n = 6 entspricht und wobei zwei gegenüber- 

 liegende reguläre , eingezogene Kreisbogensechsecke von einem Kranz von 

 sechs Vierecken umgeben sind. Die Formel ergibt: ß = 22°,1364, a = 70°,20, 

 b = 45°,16. Die geodätischen Teilungslinien messen 89°,684. Die Teilungs- 

 länge wird: 1038°,0, also nochmals erheblich kleiner. Der Überdruck in den 

 sechs Vierecken ist erheblich: ctg a= 0,3600. 



Man wird erwarten und ich war lange der Meinung, daß damit die 

 allerkürzeste Teilungslänge für die Achtteilung erreicht ist. Durch eine Be- 

 merkung von Herrn Kollegen Dr. Rosenthal wurde ich jedoch darauf auf- 

 merksam, daß noch eine Achtteilung der Kugel mit vier Vierecken und vier 

 Fünfecken möglich ist. Ich versuchte diese zunächst möglichst symmetrisch 

 zu gestalten und dann den Bedingungen einer kürzesten Teilung (Fig. 16e) 

 anzupassen. Legt man zwei symmetrische Vierecke neben einander in die 

 Mitte einer Halbkugel und dieselben zwei um 180° gedreht, in die Mitte der 

 anderen Halbkugel, so bleibt von der Kugelfläche ein ringförmiger Rest, der 

 durch geodätische Verbindung passender Ecken der beiden sechseckigen Grenz- 

 polygone des Ringes in zwei Paare von kongruenten und symmetrischen Fünf- 

 ecken aufgeteilt wird. Es gibt nur eine mögliche Teilung nach diesem 

 Schema, welche den Bedingungen der kürzesten Teilung entspricht. Ihre 

 Ausrechnung ist wirklich umständlich, da sie die Auflösung zweier sehr ver- 

 wickelter Gleichungen mit zwei Unbekannten verlangt, deren explizite Auf- 

 stellung kaum tunlich ist. Ich habe das Schlußergebnis der langwierigen 

 Rechnung in nachfolgender Figur 17 zusammengefaßt, welche ein Achtel der 

 Kugelteilung in stereograpischer Projektion darstellt. Die ausgezogenen Linien 

 sind Teilungslinien, darunter PQ und PS Kreisbogen. Sämtliche anderen 

 Linien sind Geodätische. M ist der sphärische Mittelpunkt des Kreises PQ, 

 X jener des Kreises PS. 



Berechnet man schließlich den Flächeninhalt der Felder dieser Teilung, 

 so findet sich für das halbe Viereck der Exzeß zu 45?01 und für das halbe 

 Abh. d. math.-phys. Kl. XXVIII, 7. Abh. 5 



