Einleitung. 



Die folgenden Betrachtungen beschäftigen sich mit dem Verhalten der 

 Integralkurven einer Differentialgleichung erster Ordnung zwischen zwei 



Variabein 



F(x,y,y')= 



in der Umgebung einer singulären Lösung im allgemeinen und dann im 

 besonderen für den Fall, daß die singulare Lösung zugleich 

 partikuläres Integral der Differentialgleichung ist. 



Dabei knüpft die Darlegung einmal an die obige Differentialgleichung 

 als Ausgangspunkt an (§ 1 — 3), dann an die Gleichung der einfach unend- 

 lichen Kurvenschar 



<P (x, y,C) = Q 



(§ 4, 5) und es ^handelt sich neben einer genauen analytischen Formulierung, 

 die zur Ergänzung der bisherigen Untersuchungen notwendig ist, vornehmlich 

 um die gestaltliche Diskussion im reellen Gebiet. 



Trotz der umfangreichen Literatur, welche über die Frage der singulären 

 Lösungen seit Clairaut und Euler entstanden ist, scheint mir eine ausführliche 

 Darlegung der Geometrie der singulären Lösungen noch immer nicht unan- 

 gebracht. Es finden sich Unklarheiten und Ungenauigkeiten auch in der all- 

 gemeinen Theorie noch in neueren Abhandlungen wie in Lehrbüchern über 

 diesen Gegenstand; besonders aber ist jener Fall der zugleich singulären und 

 partikulären Lösungen seinem eigentlichen geometrischen Charakter nach noch 

 nicht klargelegt worden, obwohl die analytischen Grundlagen der ganzen Frage 

 seit Darbouxs Betrachtungen und besonders seit den Untersuchungen von 

 Fuchs und Hamburger vollständig gegeben sind. 



Das Interesse hat sich aber in neuerer Zeit mehr der Theorie der durch eine 

 Differentialgleichung (oder ein System von solchen) definierten analytischen 

 Funktionen und ihrer festen und beweglichen singulären Stellen zu- 



