gewendet, für welche nach den C au chy sehen Existenzbeweisen der Aufsatz 

 von Briot und Bouquet vom Jahre 1856 „Sur les proprietes des fonetions 

 definies par des equations differentielles" 3 ) und dann der Aufsatz von Fuchs 

 „Über die Differentialgleichungen, deren Integrale feste Verzweigungspunkte 

 besitzen" 2 ) die Grundlage bilden und an welche dann die neueren Arbeiten 

 von Poincare und Picard, weiterhin von Painleve, Bendixson, Hörn u. a. 

 anschließen 3 ). Den hier entstandenen, für die Funktionentheorie prinzipiell 

 wichtigen Arbeiten gegenüber ist die Frage der singulären Lösungen, die wir 

 in den gegenwärtigen Untersuchungen besonders nach der geometrischen Seite 

 weiterführen wollen, zurückgetreten. 



Auf Grund der nachfolgenden Betrachtungen lassen sich die Hauptsätze 

 über die singulären Lösungen folgendermaßen aussprechen: 



Als singulare Lösung der Differentialgleichung F(x,y,y') = soll 

 jede die Differentialgleichung befriedigende Gleichung in x und y be- 

 zeichnet werden, welche ohne Bildung des allgemeinen Integrals der- 



selben als Teilfaktor der Diskriminante D von F = und — - = 



dy 



gewonnen werden kann 4 ). 



I. Der allgemeine Typus der singulären Lösungen einer Differential- 

 gleichung erster Ordnung, der Fall der gemeinsamen Berührungs- 

 kurve einer Schar von Zweigen von partikulären Integralkurven, in 

 welchem die eigentlichen Umhüllungskurven (Enveloppen) enthalten sind, 

 sei als Typus I der singulären Lösungen bezeichnet. 



x ) Journal de l'eeole polyt. cah. 36. 

 • 2 ) Sitzungsberichte der Berliner Akademie, Bd. 32, vorn Jahre 1884. 



3 ) Man vergleiche für eine zusammenhängende Darstellung etwa Picards „Traite d'analyse", 

 tom. HI (Paris 1896), sowie (von weiteren Handbüchern, wie denen von Schlesinger und Forsyth 

 abgesehen) besonders Painleves „Lecons sur la theorie analytique des equations differentielles" (pro- 

 fessees ä Stockholm 1895, Paris 1897), endlich für die weitere Literatur das Referat von Painleve über 

 „Gewöhnliche Differentialgleichungen" in der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Bd. II, 

 S. 215 ff. (französische Ausgabe, tome II, vol. 3, fasc. 1). 



Es sei gestattet, hier anzufügen, daß ein Teil der Darlegungen, die A. Wahlgren im Anschluß 

 an Bendixson in der Abhandlung „Sur les points singuliers des equations differentielles du premier 

 ordre et du second degre" in den Abhandlungen der schwedischen Akademie der Wiss. (Bd. 28, 1902) 

 gegeben hat, sich schon in meiner Arbeit „Über die gestaltlichen Verhältnisse der durch eine Differential- 

 gleichung erster Ordnung zwischen zwei Variabein definierten Kurvensysteme" (in den Sitzungsberichten 

 aer Münchner Akademie der Wissenschaften v. J. 1891 und 1892) findet und dort für eine Charakteristik 

 des Gesamtverlaufes des Systems der Integralkurven im Sinne der Analysis situs verwertet ist. 



4 ) Vergleiche hiezu im folgenden die Ausführungen des § 7. Boole spricht in seinem „Treatise 

 on differential equations" in konsequenter Weise von „Singular solutions" und von „Particular In- 

 tegrals", eine richtige Unterscheidung, die später zumeist außer acht gelassen worden ist. 



