IL Diesen Berührungskurven treten die Grenzkurven an die Seite, 

 welchen sich eine Schar von Zweigen der partikulären Integralkurven von 

 einer oder von zwei Seiten annähert, ohne sie (singulare Stellen aus- 

 genommen) zu berühren oder zu durchsetzen — Typus II der singu- 

 lären Lösungen. Es ist dies, wie wir zeigen werden, der allgemeine 

 Fall der zugleich singulären und partikulären Lösungen der 

 Differentialgleichung. 



Diese Grenzkurven können einfach oder mehrfach zählend im System 

 der partikulären Integralkurven auftreten. 



III. Der in der Literatur in der Regel als Beispiel für die zugleich 

 singulären und partikulären Lösungen einer Differentialgleichung angeführte 

 Fall, in welchem eine partikuläre Integralkurve von einer Gruppe von 

 Zweigen weiterer partikulärer Integralkurven berührt wird, ist ein ganz 

 spezieller Fall solcher Lösungen. 



IV. Der Ort singulärer Punkte von partikulären Integral- 

 kurven ist im allgemeinen weder partikuläre noch singulare Lösung, 

 kann aber im besonderen das eine oder andere oder auch beides sein. 



Die analytische Unterscheidung der beiden Typen I und II liegt in 

 der bekannten Arbeit von Hamburger „Über die singulären Lösungen der 

 algebraischen Differentialgleichungen erster Ordnung" ! ) vollständig vor, aber 

 der geometrische Charakter des allgemeinen Falles II als einer singulären 

 Lösung wird nicht erörtert, vielmehr nur seine Eigenschaft als partikuläres 

 Integral hervorgehoben. 



Als Typus der zugleich singulären und partikulären Integrale wird dort 

 nur der obige besondere Fall III betrachtet 2 ). Für ihn gibt es ein klassisches 

 Beispiel, das auf Cauchy 3 ) zurückgeht, die Differentialgleichung 



xf -±%yy' + 8y*= 



') Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 112, 1893. 



-) Vgl. die Zusammenfassung auf S. 218 der ebengenannten Abhandlung von Hamburger. Ebenso 

 die Darstellung der Hamburgerschen Untersuchungen in Eorsyths „Theory of differential equations", 

 part II (Cambridge 1900), chap. VIII, No. 108 und in Schlesingers „Einführung in die Theorie der 

 Differentialgleichungen" (Leipzig 1900), Kap. VIII, Nr. 63-66. 



3 ) Cauchy, „Lecons sur le calcul differentiel et le calcul integral". Herausg. von Moigno, Paris 

 1844, Bd. 2, S. 377. Für die historische Entwickelung der Theorie der singulären Lösungen wie für die 

 Literatur vergleiche man Painleves schon genanntes Referat in der Enzyklopädie der mathematischen 

 Wissenschaften, sowie eine von Braunmühl veranlaßte Dissertation von Rothenberg (München 1908), 

 abgedruckt in den Abhandlungen zur Geschichte der math. Wiss., Bd. XX. 



