mit dem allgemeinen Integral 



welches für C = die zugleich singulare und partikuläre Lösung y = 

 ergibt *). Dieses Beispiel ist weiter in dem mit einer großen Zahl instruktiver 

 Beispiele ausgestatteten „Treatise on differential equations" von Boole vom 

 Jahre 1859 ausführlich besprochen und findet sich dann mit gleichartigen 

 Beispielen in der größeren Zahl der Lehrbücher über Differentialgleichungen 2 ). 

 Booles Treatise enthält aber auch 3 ) eine Differentialgleichung, welche 

 eine zugleich singulare und partikuläre Lösung von dem obenbezeichneten 

 allgemeinen Typus II der Grenzkurve besitzt, freilich ohne daß sie 

 diesem Charakter nach erkannt wäre. Es ist einfach die Differentialgleichung 



y' = x~ n . 



Boole hebt hervor, daß die Lösung x = für positive Zahlen n kleiner als 1 

 ein „Singular Solution" darstellt (Typus I), für Zahlen n größer als 1 aber ein 

 „particular integral". Es ist hier der Fall n = f das einfachste Beispiel 

 des Typus II der zugleich singulären und partikulären Lösung, der im übrigen 

 für jeden rationalen gebrochenen Exponenten n> 1 vorliegt. Auch Ham- 

 burger kommt auf dieselbe Gleichung am Schlüsse der Erörterungen zu 

 seinem dritten Beispiel 4 ) 



y ' i X—Y= 



X = (x — a{) (x — a,) ... (x — «,„), 



¥ = {y — «,) (y — c 2 ) ... (y — «„). 



Hier findet sich die Bemerkung, daß, wenn a, eine ^-fache Wurzel von ¥ = 

 ist (wo p > 2), y = U) ein „partikuläres Integral" darstellt, der Entwicke- 

 lung von y' in der Form 



p 



y' = ffo y~ + 



entsprechend. Auch in Painleves schon erwähntem Referat in der Enzy- 

 klopädie der mathematischen Wissenschaften ist bei Anführung dieses Bei- 

 spiels nur von einer „vielfachen gewöhnlichen Lösung" die Rede. 



!) Wir kommen auf dieses Beispiel noch in den Bemerkungen des § 7 zurück. 



2 ) Wir erwähnen Serrets Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. 3. deutsche Bearbeitung, 

 herausgegeben von Scheffers. Bd. III, Leipzig 1909. 



3 ) Vgl. S. 167 der 3. Ausgabe des Treatise vom Jahre 1872. 

 *) a. a. 0. S. 243. 



