Die elementaren Darstellungen des Gegenstandes beschränken sich zu- 

 meist und vielfach ohne die nötigen Vorsichtsmaßregeln auf die Betrachtung 

 des Falles der Umhüllungskurven. Ganz exakt habe ich hier nur in Picards 

 „Traite d'analyse" *) die Bedingung hervorgehoben gefunden, welche alle 

 weiteren Fälle ausschließt. Bei weiterem Eingehen wird die Unterscheidung 

 der Umhüllungskurven (Typus I der obigen Formulierung) und des Ortes von 

 singulären Punkten (IV. Fall) getroffen — so etwa im „ Cours d'analyse mathe- 

 niatique" von Goursat 2 ) — , eine Unterscheidung, die ohne einschränkende 

 Zusätze jedenfalls unvollständig ist. 



Peano geht in seinen „Applicazioni geometriche del calcolo infinitesi- 

 male" 3 ) von der einfach unendlichen Kurvenschar aus und charakterisiert die 

 Bedingung für das Auftreten einer gewöhnlichen Umhüllungskurve durch das 

 Nichtverschwinden einer gewissen Funktionaldeterminante 4 ). Von den Fällen, 

 in denen diese verschwindet, wird gleichfalls nicht der allgemeine Typus II 

 hervorgehoben, sondern nur das Eintreten von Berührungen höherer Ordnung 

 (des Typus I) und das Auftreten von singulären Punkten der Kurvenschar. 

 Auch die an Peano anknüpfenden, etwas allgemeineren Formulierungen von 

 Lilienthal in seinen „Vorlesungen über Differentialgeometrie" 5 ) gehen hier 

 über die Erörterung der Berührungen verschiedener Ordnung nicht hinaus. Im 

 „Cours d'analyse infinitesimale" von Boussinesq 6 ) findet sich eine Erörterung 

 über asymptotische Annäherung der allgemeinen Integralkurven 

 an eine Grenzkurve, in welcher (neben nicht hierhergehörigen) auch 

 einige Beispiele des obigen Typus II angeführt sind. Aber die allgemeinen 

 Betrachtungen sind mit der Frage nach der Dichtigkeitsverteilung der Integral- 

 kurven (nach dem sogenannten „Grat" und „Thalweg" im Beispiel der Fall- 

 linien einer Fläche) verquickt, welche wesentlich von der Art, wie die 

 Integrationskonstante im allgemeinen Integral eingeführt ist, abhängt. Da- 

 durch wird die Exaktheit der Darstellung erschwert, welche auch mit 

 den angewandten, mehr räsonierenden als rechnerischen Mitteln nicht zu 

 erreichen ist. 



1 ) Paris 1896, tom. III, ehap. IN, S. 49, 50. 



2 ) Paris 1902, tom. I, chap. X „Courbes enveloppes". 



3 ) Torino 1887, cap.VIJ, p. 2. Inviluppi di curve nel piano. 



4 ) Vgl. die Darstellung in § 4 der gegenwärtigen Abhandlung. 



ä ) Leipzig 1908, erster Teil, Kap. 2 „Einfach unendliche Schar ebener Kurven". 

 6 ) Tome I, fasc. II (Complements), Paris 1887; § 137*— 143* und Tome II, fasc. II (Complements), 

 Paris 1890; § 362*— 369*. 



