§ 1. 



Darstellung der singulären Lösungen aus den Teilfaktoren der Dis- 

 kriminante D der Differentialgleichung. Die beiden Haupttypen der 



singulären Integrale. 



"Wir gehen aus von der schon genannten Arbeit von Hamburger im 

 Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 112 und legen die 

 dort gegebene Reihenentwickelung für die partikulären Integrale in der Nähe 

 einer singulären Lösung, die sich aus der Zerlegung der Diskriminante der 

 Differentialgleichung in ihre linearen Teiler ergibt, zu Grunde. Die hier in 

 Frage kommenden Sätze und Bezeichnungen seien in Kürze vorausgeschickt : 



Wir setzen die Differentialgleichung voraus in der Form einer irreduziblen 

 Gleichung » ten Grades in y': 



1) F(x, y, y') = A y" + A, y'"' 1 + . . . + A n = .0, 



in welcher die Koeffizienten A , A u ... als ganze rationale Funktionen von 

 x und y ohne gemeinsamen Teiler angenommen sind. 



2) D (x, y) = 



sei die Diskriminantengleichung, als Resultat der Elimination von y' zwischen 



3) F (x, y, y') = und d J^hli.<Ü = . 



Ferner sei: 



4) y — ')] (x) = 



ein Zweig der Diskriminantenkurve, für welchen wir >](x) innerhalb eines Kon- 

 vergenzbezirkes um einen Punkt x = a der «-Ebene durch eine nach positiven 

 ganzen Potenzen von (x — a) fortschreitende Reihe darstellbar voraussetzen. Wir 

 schließen dabei hier, wie auch in der Folge bei allen allgemeinen Formulie- 

 rungen, den leicht zu ergänzenden, nur durch die besondere Lage des Koordi- 

 natensystems ausgezeichneten Fall aus, daß für diesen Zweig unendlich große 

 Wurzeln y' auftreten. 



Nehmen wir an, daß längs des Zweiges y — >](x) = der Diskriminanten- 

 kurve eine Gruppe von a Zweigen der Funktion y' zusammenhängen, so gilt 



Abh. d. math.-phy3. Kl. XXV, 4. Abh. 2 



