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für diese für die Umgebung des Punktes x = a der Diskriminantenkurve eine 

 Entwickelung : 



5) ^^ = l- |J + 0. (y - nf + g-^ (v—iT+ ..., 



a a 



in welcher -p die Richtung der Diskriminantenkurve, £ die Richtung jener 



untereinander zusammenhängenden Zweige der Integralkurven bedeutet und 

 die Koeffizienten g„, g x +i . . . nach ganzen positiven Potenzen von [x — a) fort- 



a a 



schreitende Reihen sind und g._ nicht identisch verschwindet. 



ein <~ 



„Im allgemeinen" ist dann bekanntlich — von C verschieden, 



° dx 



der Zweig y — i](x) der Diskriminantenkurve nicht auch zugleich 

 eine Lösung der Differentialgleichung 1), vielmehr nur ausgezeichnet 

 als Ort von singulären Punkten der Integralkurven. (Vgl. den bekannten 

 Aufsatz von Darboux „Sur les Solutions singulieres des equations aux deri- 

 vees ordinaires du premier ordre" *).) 



Für jene a Zweige der Integralfunktion aber, welche in einem Punkte 

 x = x der Diskriminantenkurve zusammenhängen, läßt sich in diesem all- 

 gemeinen Falle eine Reihenentwickelung herstellen von der Form: 



/ d \ — — 



6) y — t}(a>) =?{£ — ■£)■ {x — x ) + jvy (« — x ) a + y a _^ {x — x ) a + . . . 



Ist dagegen jener Zweig y — rj(x) = der Diskriminanten- 

 kurve zugleich Lösung der Differentialgleichung, so bezeichnen 

 wir ihn nach der in der Einleitung, S. 4 gegebenen Definition 

 als eine singulare Lösung. Es besteht für ihn neben den Gleichungen 3) 

 noch die Gleichung: 



? , 3F(x,y,y) dF(x,y,y ') = _ 



'* dx ' ^ dy' 



und in der obigen Reihenentwickelung 5) wird längs dieses Zweiges 



.. , . dr] 



8 ) *& = £> 



so daß die Entwickelung 5) übergeht in die Gleichung: 



9) ^jp 1 = g-Ay - nf + g^to - v)~-\- • • ■ 



!) Bulletin des sciences matk., Bd. IV, 1S73. 



