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Diese Gleichung bildet den Ausgangspunkt für unsere Be- 

 trachtungen. 



Vor allem sind die beiden von Hamburger aufgestellten Hauptfälle zu 

 unterscheiden: 



( Typus I : a — y. > 1 



Typus II : a — y. < 1. 



Typus I. 



Führen wir im ersten Falle durch die Substitution 



11) y — rj(x) = u a 



die Differentialgleichung 9) auf die Gleichung 



dx a ■ u"~ y -~ l 



i2 ) du g ± -f- #h-i u + %f_2 m 2 + • • • 



tz a a 



zurück, in welcher also der Exponent a — y. — l eine positive ganze Zahl oder 

 Null ist, so läßt sich deren Integral in Gestalt einer Potenzreihe nach 

 steigenden Potenzen von u: 



13) x - x = ß a _» %f--- + #,_„+! z^"* +1 + . . . 



a a 



darstellen, wo 



und g x in unserem Bereich nicht identisch verschwindet. Es folgt also für 



a 



die Umgebung einer allgemeinen Stelle x der Kurve y — ij (x) — das 

 Integral der Gleichung 9) in Form der Reihenentwickelung 



a — y. a — y.-\-\ 



14) x — x, = ß_ {y — >iV + ß^M u~~ a ~" + • • ■ 



a a 



oder ihrer Umkehrung: 



a g+1 



15) y — j? (x) = c5^ (x — a^-" + ^ (x - x ) a -° + . . . , 



in welcher letzteren der Exponent der niedrigsten Potenz von 

 (x — x ) größer als Eins ist. 



Typus I der singulären Lösungen ist also dadurch charak- 

 terisiert, daß der Zweig y — r\ (x) = derDiskriminantenkurve 

 eine gemeinsame Berührungskurve für die durch Gleichung 15) 

 gegebene Schar von partikulären Integralkurven darstellt. 



