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Für den 



Typus II: a — 1 < z 



ergibt die Substitution 



11) y — rj(x) = if 



in die Gleichung 9) eine Differentialgleichung 



16) Jx = a u "~ la ~ l) •fe + ^» + fft+2 u ~ + • • •) ' 



au a 



in welcher jetzt /. — (« — 1) eine von Null verschiedene, positive, ganze Zahl ist. 



Diese Differentialgleichung aber besitzt nach einem bekannten, auf Briot- 

 Bouquet zurückgehenden Satz außer u= kein für einen willkürlichen Wert 

 x = x verschwindendes Integral. 



y — >}{x) = 0, die singulare Lösung, ist also zugleich das einzige, durch 

 diesen Punkt der Diskrirninantenkurve gehende Integral der Differential- 

 gleichung 1). Es ist also 



Typus II dadurch gekennzeichnet, daß der Zweig y — »?(a?)-= 

 der Diskriminantenkurve zugleich singulare Lösung und partikuläres 

 Integral ist. 



Nehmen wir zunächst nur das Auftreten von Doppelwurzeln y' längs 

 des Zweiges y — rj(x) = der Diskriminantenkurve an, so ist der einfachste 

 Fall von Typus I charakterisiert durch a = 2, v. = 1, also durch die für 

 die partikulären Integralkurven gültige Entwickelung: 



17) d{ *-* {x ) l = 9^{y--n{x))* + gi {y-<n(x)) + g h ■ (y — nV)) 1 +-■■■, 



wo g, nicht identisch verschwindet. 



Dagegen liegt der einfachste Fall von Typus II vor für a = 2, 

 y. = 2, also in der Entwickelung: 



18) ^^ = 9, to — Vto) + h ifJ - r,{x)f + . . . 



Der Vergleich dieser beiden Gleichungen, von denen die erste mit der -^- ten , 

 die zweite mit der | ten Potenz von y — >, (x) beginnt, rechtfertigt es, den 

 Typus I einer eigentlichen Umhüllungskurve der einfach berührenden Integral- 

 kurven (17) als den allgemeinen Fall des Auftretens von singulären 

 Lösungen zu bezeichnen. 



