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Die singulären Lösungen vom Typus I (Berührungskurven). 



Zunächst einige Bemerkungen über den Typus der Berühr ungskurv e, 

 die wir einer zusammenhängenden Darstellung des Ganzen wegen hier ein- 

 schalten. Die Gleichung 15) für die partikulären Integralkurven 



15) y — r,(x) = S^_(x- x,f~ x + d aJ± (x - x^'* + ■ ■ ■ 



der Differentialgleichung 



a a 



läßt uns zunächst den Fall 



19) a — x = 1 

 herausheben. 



Die singulare Lösung y — rj(x) == wird von den Zweigen der partikulären 

 Integralkurven in der Ordnung a — 1 berührt. 



Wenn u eine gerade Zahl ist, so wird nur die eine Seite der singu- 

 lären Kurve von den Zweigen der Integralkurven überdeckt und zwar 

 doppelt, und jene bildet eine eigentliche Umhüllungskurve für die Zweige 

 der partikulären Integrale. Ist dagegen a eine ungerade Zahl, so wird 

 das Gebiet der xy- Ebene zu beiden Seiten der singulären Kurve je einfach 

 überdeckt von den Zweigen der partikulären Integralkurven, welche jene be- 

 rührend durchsetzen. 



Die Figur 26 des folgenden § 9, welche die Krüminungskreise einer 

 Parabel darstellt, mag diesen Fall der Berührung mit Durchsetzung veran- 

 schaulichen. 



Ist 



20) a — y. > 1, 



so haben die Integralkurven auf der Diskriminantenkurve singulare Punkte 

 (Ordnungssingularitäten). 



