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entsprechen, also den Entwickelungen : 



y — >] (x) = # f (x — x f + • • • , 



22) y — *?(*) = <V(» — £ T + ** (x — x )* + ■ • ■ 

 y — >] (x) = ä t x — x Q f + . . . . 



Die im allgemeinen irreduzible Gleichung 



23) (y — V («))* = «4 (a — £ ) 4 + % & — x of + ■ • ■ 



endlich kennzeichne den einfachsten Fall einer Selbstbeiührung je zweier 

 Zweige der partikulären Integrale längs der singulären Kurve y = r\ (x). Den 

 beiden Zweigen entsprechen längs y — i]{x) — die beiden Entwickelungen: 



24) y-rj (x) = ± Vä t (x - x f ■ (1 + £ (x - x ) + . . .)• 



Ist « 4 eine negative Zahl, so verläuft die singulare Linie y = rj{x) isoliert 1 ). 



*) In der von Scheffers bearbeiteten neuen dritten Auflage des S erriet sehen Lehrbuches der 

 Differential- und Integralrechnung findet sich auf Seite 109 für eine isoliert verlaufende singulare 

 Lösung einer Differentialgleichung das Beispiel 



y'* + y*e* = 



angeführt. Hier handelt es sich aber nicht um eine singulare Lösung, sondern die einzige der 

 Differentialgleichung genügende reelle Kurve y = ist ein partikuläres Integral derselben. Die 

 Differentialgleichung ist nämlich reduzibel und zerfällt in die beiden konjugierten Gleichungen 



X X 



y' "f" iy ' e2 = un d y' — iye 2 = 0, 



■welche beide y = als partikuläre Lösung besitzen. Dieser Fall läßt sich natürlich auch allgemein 

 auf die einfachste Weise herstellen. Wir setzen 



cp (x, y,y') -\- iy> (x, y, y') = 0, 



wo ip und y> reelle Punktionen von %, y, y' bedeuten. Dann hat diese Differentialgleichung isolierte 

 reelle partikuläre Integrale, wenn die Differentialgleichungen 



<p (x, y, y') = und ip (x, y, y') = 



gemeinsame Integrale besitzen. Statt des Differentialausdruckes yj (x, y, y') mag man auch ein partiku- 

 läres Integral der Differentialgleichung ip = setzen. Einfachstes Beispiel ist also etwa: 



:</ +iy = 0. 



